Diagram Batang

Dalam suatu sekolah, terdapat 5 kelas untuk kelas IX, yaitu kelas IX A sampai IX E. Pada suatu ujian matematika, masing-masing kelas IX tersebut memiliki nilai rata-rata berikut: Kelas IX A memiliki rata-rata 77,5, rata-rata kelas IX B 79,2, rata-rata kelas IX C 85,8, rata-rata kelas IX D 76,7, dan rata-rata kelas IX E 84,3. Nilai rata-rata tersebut akan sedikit sulit untuk dibandingkan apabila disajikan dalam bentuk kalimat seperti sebelumnya. Terdapat cara menyajikan data yang dapat memudahkan kita untuk memudahkan dalam membandingkan masing-masing kategori, yaitu dengan diagram batang.

Langkah pertama dalam membuat diagram batang adalah membuat dua sumbu mendatar dan tegak. Sumbu mendatar memperlihatkan kategori, sedangkan sumbu tegak menyatakan nilai/frekuensi dari masing-masing kategori. Berikut ini contoh diagram batang yang menyajikan data rata-rata nilai ujian matematika kelas IX A – IX E pada kasus sebelumnya.

Dari diagram batang di atas kita dapat mengamati bahwa kelas IX A, IX B, dan IX D merupakan kelas yang memiliki rata-rata yang hampir sama dan berada di bawah dua kelas lainnya, yaitu kelas IX C dan IX E.
Selanjutnya perhatikan tabel yang menyajikan data suhu terendah dan tertinggi dari beberapa kota berikut!

Dari tabel tersebut kita dapat menggambar diagram batang yang menyajikan suhu terendah dan tertinggi dari masing-masing kota sekaligus. Perhatikan diagram batang berikut!

Dari dua diagram batang pada contoh sebelumnya, kita dapat membandingkan nilai dari masing-masing kategori. Pada diagram pertama, kita dapat membandingkan nilai rata-rata dari masing-masing kelas IX. Sedangkan pada diagram kedua, kita dapat membandingkan suhu terendah dan suhu tertinggi sekaligus dari masing-masing kota. Dari kedua contoh tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa diagram batang sangat tepat digunakan untuk membandingkan nilai/frekuensi dari masing-masing kategori.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Diagram Batang

Diagram Lingkaran

Pada permulaan tahun ajaran baru biasanya masing-masing kelas mengadakan pemilihan ketua kelas. Begitupun dengan kelas IX C. Calon ketua kelas dari IX C adalah Roni, Memei, Andre, dan Naysilla. Setelah dilakukan pemilihan dengan cara voting, diperoleh data sebagai berikut.

Dari pemilihan tersebut kita dapat memperoleh: Roni mendapatkan 7 suara, Memei 11 suara, Andre 13 suara, dan Naysilla 9 suara. Tentunya kamu sudah mengetahui dengan mudah bahwa Andre-lah yang akan menjadi ketua kelas IX C. Akan tetapi kita tidak mudah untuk melihat seberapa besar perbandingan suara Andre, atau yang lainnya, dengan jumlah suara secara keseluruhan.
Untuk itu, kita perlu untuk menggambar diagram lingkaran. Diagram lingkaran digunakan untuk mengetahui perbandingan suatu data dengan keseluruhan. Selanjutnya mari kita cari persentase masing-masing suara terhadap jumlah seluruh suara.
Jumlah seluruh suara: 7 + 11 + 13 + 9 = 40 suara. Sehingga, persentase suara Roni: 7/40 × 100% = 17,5%. Persentase suara Memei: 11/40 × 100% = 27,5%. Persentase suara Andre: 13/40 × 100% = 32,5%. Sedangkan persentase suara Naysilla: 9/40 × 100% = 22,5%. Selanjutya kita cek jumlah persentasenya: 17,5% + 27,5% + 32,5% + 22,5% = 100%. Karena jumlah persentasenya 100%, maka perhitungan kita benar.
Persentase suara masing-masing calon ketua kelas ini akan kita masukkan ke dalam juring-juring lingkaran. Sehingga kita harus tahu berapa derajat yang dapat mewakili peroleh suara masing-masing calon tersebut.
Besar sudut satu putaran adalah 360°. Sehingga besar sudut Roni: 7/40 × 360° = 63°. Besar sudut Memei: 11/40 × 360° = 99°. Besar sudut Andre 13/40 × 360° = 117°. Sedangkan besar sudut Naysilla adalah 9/40 × 360° = 81°. Sekarang kita cek jumlah sudutnya: 63° + 99° + 117° + 81° = 360°. Karena hasilnya 360°, maka perhitungan kita benar.
Langkah selanjutnya adalah membuat diagram lingkaran yang dibagi menjadi 4 juring dengan besar sudut pusat masing-masing juring 63°, 99°, 117°, dan 81°.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Diagram Lingkaran

Pendekatan Lainnya dalam Menemukan Volume Bola

Artikel ini merupakan lanjutan dari artikel sebelumnya yang berjudul “Menemukan Volume Bola Menggunakan Pendekatan Volume Kerucut“. Apabila pada artikel sebelumnya kita menentukan rumus volume bola dengan menggunakan volume kerucut, sekarang kita akan menemukan volume bola dengan menggunakan bangun ruang sisi lengkung lainnya, yaitu tabung.

Seperti kita ketahui, rumus volume tabung sama dengan rumus volume prisma, yaitu luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki alas yang berbentuk lingkaran, maka rumus volumenya adalah πr²t. Bagaimana menggunakan rumus volume tabung ini untuk menentukan rumus volume bola. Perhatikan ilustrasi berikut!

Dari ilustrasi tersebut dapat diperhatikan bahwa, untuk mengisi air hingga penuh ke dalam tabung yang memiliki jari-jari sama dengan jari-jari bola dan tingginya dua kali jari-jari bola, diperlukan tiga kali pengisian oleh setengah bola. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Sehingga, rumus volume bola adalah 4/3 ∙ πr³. Untuk lebih memahami mengenai volume bola, silahkan lihat contoh soal dan pembahasannya pada arsip soal.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Pendekatan Lainnya dalam Menemukan Volume Bola

Menemukan Volume Bola Menggunakan Pendekatan Volume Kerucut

Di sekitar kita banyak sekali benda-benda yang berbentuk bola, misalkan bola sepak, bola basket, bola tenis, dan bola billiard, bahkan banyak gedung-gedung yang desainnya menggunakan bentuk bola ataupun setengah bola. Bola (sphere) adalah himpunan semua titik pada ruang yang memiliki jarak yang sama terhadap titik tertentu. Jarak tersebut selanjuntya disebut jari-jari, disimbolkan r, sedangkan titik tersebut disebut titik pusat.

Bagaimana cara menentukan volume bola? Pada postingan terdahulu, kita pernah menemukan rumus volume bola dengan menggunakan prisnsip Cavalieri. Sekarang, kita akan menemukan rumus volume bola tersebut dengan cara yang lebih ‘menyenangkan’, yaitu dengan menggunakan volume kerucut. Seperti kita ketahui, volume kerucut dapat diperoleh dengan mengalikan sepertiga luas alas dengan tingginya, V = 1/3 ∙ A ∙ t. Selanjutnya, mari kita lakukan kegiatan untuk menemukan rumus volume bola berikut.
Menemukan Rumus Volume Bola

1. Siapkan dua wadah yang berbentuk setengah bola (hemisphere) dan kerucut yang memiliki tinggi dan jari-jari sama dengan jari-jari setengah bola tersebut, serta air secukupnya.
2. Ambilah air dengan menggunakan wadah yang berbentuk kerucut, kemudian tuangkan air tersebut pada wadah yang berbentuk setengah bola.
3. Ulangi langkah 2, hingga wadah yang berbentuk setengah bola terisi penuh oleh air. Berapa kali pengisian yang diperlukan sehingga wadah yang berbentuk setengah bola tersebut penuh terisi oleh air?

Agar tidak terlalu mengawang-awang, mari kita perhatikan ilustrasi yang menunjukkan proses pengisian air ke dalam setengah bola berikut.

Dari kegiatan tersebut diperoleh bahwa dibutuhkan 2 kali pengisian air oleh wadah yang berbentuk kerucut ke dalam wadah yang berbentuk setengah bola agar terisi penuh. Sehingga, volume setengah bola yang berjari-jari r sama dengan 2 kali volume kerucut yang memiliki jari-jari dan tinggi r. Karena volume kerucut memiliki rumus, V = 1/3 ∙ A ∙ t dengan A = πr², maka volume wadah kerucut yang berjari-jari dan tinggi r adalah V = 1/3 ∙ πr² ∙ r = 1/3 ∙ πr³. Oleh karena volume setengah bola merupakan 2 kali volume kerucut tersebut, maka volume setengah bola adalah 2(1/3 ∙ πr³) = 2/3 ∙ πr³.
Dari paragraf sebelumnya diperoleh bahwa volume setengah bola yang berjari-jari r adalah 2/3 ∙ πr³. Dari pernyataan tersebut, dapatkah kamu merumuskan volume bola? Ya, volume bola merupakan 2 kali volume setengah bola. Sehingga volume bola adalah V = 4/3 ∙ πr³.

Volume bola yang memiliki jari-jari r adalah V = 4/3 ∙ πr³, yaitu empat per tiga dikalikan pi dan pangkat tiga dari jari-jarinya.

Untuk lebih memahami mengenai volume bola, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Perhatikan gambar berikut!

Tentukan volume benda-benda ruang pada gambar (i), (ii), dan (iii)! (Semua satuan panjang dalam cm)
Pada gambar (i), bangun ruang yang dimaksud adalah bola yang memiliki jari-jari 10 cm. Sehingga, volume bola tersebut adalah V = 4/3 ∙ 3,14 ∙ 10³ = 4.186,67 cm³. Dari perhitungan tersebut kita menggunakan π = 3,14 karena jari-jarinya kelipatan dari 10.
Pada gambar (ii), bangun ruang yang dimaksud adalah gabungan dari tabung yang memiliki tinggi 23 cm dan dua dari setengah bola yang berjari-jari 7 cm. Volume dari bangun ruang tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, volume benda ruang pada gambar (iii) adalah 4.979,33 cm³.
Selanjutnya kita tentukan volume bangun ruang pada gambar (iii). Bangun ruang pada gambar (iii) merupakan setengah bola yang dipotong 40/360 bagiannya. Sehingga volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, volume bangun ruang pada gambar (iii) adalah 17.248 cm³ atau 17,248 L.
Dari pembahasan di atas, kita telah menemukan rumus volume bola, yaitu 4/3 ∙ πr³. Selain itu kita juga telah berlatih untuk menemukan volume bola ataupun bangun ruang yang disusun oleh beberapa bangun ruang, termasuk bola. Akan tetapi apabila masih ada pertanyaan mengenai volume bola, silahkan mengisi komentar pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menemukan Volume Bola Menggunakan Pendekatan Volume Kerucut

Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku

Kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada di sekitar kita. Sebagai contoh, kesebangunan dapat digunakan untuk menghitung tinggi suatu benda yang sulit diukur secara langsung. Suatu pohon yang tinggi menjulang memiliki panjang bayangan 37,5 m di suatu pagi dan 12,5 m di suatu sore. Apabila sinar-sinar garis dari puncak pohon yang menuju tanah membentuk sudut siku-siku, dapatkah kamu menghitung tinggi pohon tersebut?

Sebelum menghitung tinggi pohon tersebut, kita pelajari terlebih dahulu mengenai kesebangunan pada segitiga siku-siku. Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, apakah kamu menduga bahwa segitiga PSR sebangun dengan segitiga RSQ? Dapatkah kamu membuktikannya? Segitiga PSR memang sebangun dengan segitiga RSQ. Berikut pembuktiannya.
Perhatikan bahwa sudut PSR dan sudut RSQ merupakan sudut siku-siku, sehingga besar sudut PSR sama dengan sudut RSQ, yaitu 90°. Selanjutnya, pada segitiga PRQ, besar sudut RPS sama dengan 180° dikurangi jumlah dari besar sudut SQR dan 90°. Demikian juga pada segitiga RSQ, besar sudut QRS sama dengan 180° dikurangi jumlah dari sudut SQR dan 90°.

Sehingga, besar sudut PRQ sama dengan besar sudut QRS. Karena pada segitiga PSR dan segitiga RSQ terdapat dua sudut yang sama besar, maka kedua segitiga tersebut sebangun. Karena segitiga PSR dan segitiga RSQ merupakan segitiga-segitiga yang sebangun, maka perbandingan dari panjang sisi-sisi yang bersesuaian besarnya sama.

Selanjutnya, coba buktikan bahwa segitiga PSR sebangun dengan segitiga PRQ dan segitiga RSQ sebangun dengan segitiga PRQ. Dari kesebangunan segitiga-segitiga tersebut, diperoleh beberapa persamaan berikut.

Sehingga, dari segitiga PQR dan ruas garis RS dengan titik S terletak pada sisi PQ sedemikian sehingga ruas garis RS tegak lurus dengan sisi PQ, diperoleh ketiga persamaan berikut.

RS = √(SP ∙ SQ); RP = √(PS ∙ PQ); dan RQ = √(QS ∙ QP)

Dari persamaan tersebut, kita dapat menghitung tinggi pohon pada permasalahan awal. Tinggi pohon tersebut adalah √(37,5 ∙ 12,5) = 21,65 m.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku

Menemukan Volume Limas dan Kerucut

Pada postingan sebelumnya telah kita temukan rumus untuk mencari volume prisma dan tabung. Akan tetapi banyak objek di dunia ini yang tidak berbentuk prisma ataupun tabung, misalnya gunung dan piramida di Mesir. Bagaimana bentuk kedua objek tersebut? Bagaimana cara kita menemukan volume dari objek-objek yang berbentuk seperti itu?

Gunung yang mungkin banyak kita jumpai di daerah kita, bisa kita kategorikan sebagai objek yang berbentuk kerucut. Sedangkan piramida di Mesir, merupakan objek yang berbentuk limas segi empat. Terdapat hubungan yang sederhana antara volume prisma dengan volume limas yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen, demikian juga antara volume tabung dengan volume kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen. Untuk menemukan hubungan ini, mari kita cari tahu melalui investigasi berikut.
Investigasi: Menemukan Rumus Volume Limas dan Kerucut
Dalam melakukan investigasi ini, kalian akan menggunakan sepasang wadah yang berbentuk prisma dan limas, sepasang wadah yang berbentuk tabung dan kerucut, serta air. Siapkan benda-benda tersebut, kemudian lakukan langkah-langkah berikut:

1. Pilihlah prisma dan limas yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen.
2. Isilah limas tersebut dengan air hingga penuh, kemudian tuangkan air tersebut ke dalam prisma hingga tanpa sisa. Berapa bagiankah air tersebut mengisi prisma tersebut?
3. Cek jawabanmu dengan mengulangi langkah ke-2 hingga prisma penuh terisi air.

Pilihlah tabung dan kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen kemudian ulangi langkah ke-2 dan ke-3.

Apa yang dapat kamu simpulkan dari investigasi di atas? Bagaimana hubungkan antara volume prisma dengan limas, dan volume tabung dengan volume kerucut? Setelah kita lakukan investigasi di atas, ternyata kita temukan bahwa volume prisma sama dengan tiga kali volume limas. Atau dengan kata lain volume limas sama dengan sepertiga dari volume prisma. Hubungan ini juga berlaku untuk kerucut dan tabung. Karena rumus volume prisma dan tabung adalah V = A ∙ t, untuk A luas alas dan t tinggi prisma atau tabung, maka volume dari limas dan kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Rumus Volume Limas dan Kerucut
Jika A dan t secara berturut-turut adalah luas alas dan tinggi dari limas atau kerucut, maka volume dari limas atau kerucut tersebut adalah V = 1/3 ∙ A ∙ t.

Sehingga, untuk mencari volume dari limas atau kerucut, pertama-tama kita harus menentukan luas dari alasnya. Setelah itu kalikan luas alas tersebut dengan sepertiga dan tinggi dari limas atau kerucut tersebut. Untuk lebih memahami mengenai volume limas dan kerucut, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
Tentukanlah volume dari masing-masing bangun ruang berikut. Semua satuan ukuran yang digunakan adalah cm.

Gambar (i) adalah kerucut, gambar (ii) adalah limas persegi, sedangkan gambar (iii) adalah tabung yang dipotong oleh kerucut.
Pembahasan Contoh Soal
Volume dari kerucut yang memiliki jari-jari alas 9 cm dan tinggi 16 cm dapat ditentukan sebagai berikut.
V = 1/3 ∙ A ∙ t = 1/3 ∙ π ∙ r² ∙ t = 1/3 ∙ π ∙ 9² ∙ 16 = 432π
Sehingga, volume dari kerucut di atas adalah 432π cm². Volume dari limas persegi yang memiliki sisi alas 8 cm dan tingginya 21 cm dapat dicari sebagai berikut.
V = 1/3 ∙ A ∙ t = 1/3 ∙ 8² ∙ 21 = 448
Sehingga, volume dari limas persegi tersebut adalah 448 cm². Sedangkan volume tabung yang dipotong oleh kerucut dengan diameter 18 cm dan tinggi 35 cm dapat dicari seperti berikut.
V = A ∙ t – 1/3 ∙ A ∙ t = 2/3 ∙ A ∙ t = 2/3 ∙ (1/4 ∙ π ∙ d²) ∙ t = 2/3 ∙ (1/4 ∙ π ∙ 18²) ∙ 35 = 1.890π
Jadi, volume dari tabung yang dipotong oleh kerucut di atas adalah 1.890π cm².

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menemukan Volume Limas dan Kerucut

Menemukan Volume Prisma dan Tabung

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai permasalahan yang melibatkan volume. Misalnya, ketika kita pergi ke swalayan untuk membeli makanan instan, sebaiknya kita membandingkan volume dan harga dari beberapa item untuk melakukan pembelian yang bijaksana. Berbagai macam profesi juga sering menggunakan volume dalam membantu pekerjaan mereka. Seorang insinyur bangunan harus menghitung volume dan berat dari bagian-bagian jembatan untuk menghindari terlalu banyak tekanan dari masing-masing bagian-bagian tersebut. Fisikawan, kimiawan, dan ilmuwan lainnya harus dapat melakukan penghitungan volume dengan sangat cermat pada setiap penelitiannya. Seorang koki juga harus dapat menghitung volume komposisi bahan makanan yang akan mereka masak secara tepat agar menghasilkan masakan yang lezat.

Volume adalah ukuran yang menyatakan jumlah ruang yang terkandung dalam bangun ruang. Kita gunakan satuan kubik untuk mengukur volume dari suatu benda: centimeter kubik (cm³), meter kubik (m³), inchi kubik (in³), dan sebagainya. Volume dari suatu benda merupakan banyaknya kubus satuan yang dapat mengisi secara penuh objek tersebut.

Investigasi: Menemukan Rumus Volume Prisma dan Tabung
Untuk menemukan rumus dalam menghitung volume prisma dan tabung, lakukan langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Tentukan volume dari masing-masing prisma segiempat berikut dengan satuan cm³! Untuk menghitung volume dari masing-masing prisma tersebut, hitunglah banyaknya kubus satuan yang dimuat oleh prisma tersebut.

Perhatikan bahwa banyaknya kubus satuan yang ada di alas sama dengan banyaknya persegi satuan yang menempati alas tersebut. Demikian juga dengan banyaknya lapisan kubus satuan sama dengan banyaknya satuan tinggi dari prisma tersebut. Sehingga kita dapat menggunakan luas daerah alas dan tinggi dari prisma tersebut untuk menemukan volume prisma tersebut.

Rumus Volume Prisma Segi Empat
Jika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma segi empat adalah V = A ∙ t

Langkah 2: Rumus di atas juga dapat digunakan untuk menghitung volume prisma tegak yang memiliki alas bukan segi empat.

Pada prisma tegak sembarang, banyaknya kubus satuan yang menempati sisi alas sama dengan banyaknya persegi satuan yang menempati sisi alas, demikian juga dengan banyaknya lapisan kubus satuan sama dengan banyaknya satuan tinggi dari prisma tegak tersebut. Sehingga dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Rumus Volume Prisma-Tabung Tegak
Jika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma tegak adalah V = A ∙ t

Langkah 3: Bagaimana dengan volume dari prisma atau tabung miring? Kamu dapat memperkirakan volume prisma miring dengan menyusun tumpukan kertas A4. Susunlah 3 rim kertas A4 seperti gambar berikut.

Tumpukan pertama, kertas dikumpulkan per rim. Sedangkan tumpukan kedua, kertas 3 rim digabung jadi satu. Pada tumpukan kedua ini bentuknya mendekati bentuk prisma miring. Padahal yang kita susun adalah kertas yang sama, sehingga volumenya adalah tetap. Apa yang dapat disimpulkan? Volume prisma dan tabung miring sama dengan volume prisma dan tabung tegak.

Rumus Volume Prisma-Tabung Miring
Jika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma miring adalah V = A ∙ t

Langkah 5: Pada akhirnya, kita telah menemukan rumus volume dari prisma dan tabung tegak ataupun miring. Kedua rumus yang kita dapatkan adalah sama.

Rumus Volume Prisma dan Tabung
Volume dari prisma dan tabung adalah luas alas dikalikan dengan tingginya

Kita telah menemukan rumus volume dari prisma dan tabung. Dari rumus yang kita dapatkan, volume prisma dan tabung dapat dicari dengan mengalikan luas alas dengan tingginya, apapun bentuk dari alasnya. Pada prisma dan tabung miring, rusuk yang tidak sejajar dengan bidang alas, juga tidak tegak lurus dengan bidang alas. Sehingga kita tidak dapat menggunakan panjang dari rusuk tersebut sebagai tinggi dari prisma atau tabung miring tersebut.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menemukan Volume Prisma dan Tabung

Alat Peraga: Deret Geometri Tak Terhingga

Pada postingan sebelumnya telah dibahas mengenai suatu penjumlahan bilangan-bilangan yang memiliki pola. Setiap bilangan yang dijumlahkan selalu merupakan hasil perkalian antara bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap, yang disebut rasio. Penjumlahan bilangan-bilangan inilah yang disebut deret geometri. Pada berbagai macam deret geometri, ada suatu deret geometri yang memiliki suku-suku yang tak hingga banyaknya, tetapi jumlahnya mendekati nilai tertentu. Deret yang seperti itu disebut deret geometri tak terhingga. Deret geometri tak terhingga tersebut memiliki rasio di antara 0 dan 1. Bagaimana cara menentukan nilai dari deret geometri tak terhingga tersebut?

Dalam menemukan limit dari deret geometri tak terhingga dapat dilakukan dengan menggunakan alat peraga. Alat peraga ini terdiri dari puzzle dan bingkainya. Perhatikan gambar berikut.

Puzzle dari alat peraga tersebut terdiri dari segitiga dan beberapa trapesium yang memiliki sepasang sisi siku-siku yang sama panjang. Sehingga trapesium-trapesium tersebut merupakan trapesium-trapesium yang sebangun. Untuk membuat alat peraga ini harus memenuhi syarat-syarat tersebut.

Penggunaan Alat Peraga
Bagaimana cara menggunakan alat peraga tersebut? Simak penjelasannya untuk menggunakan alat peraga tersebut.

1. Letakkan kepingan-kepingan puzzle, yaitu satu segitiga kuning, tiga trapesium merah, dan tiga trapesium hijau ke dalam bingkai puzzle seperti gambar di atas.
2. Setelah puzzle terbentuk, trapesium-trapesium tersebut akan membentuk segitiga siku-siku besar. Apakah segitiga besar ini sebangun dengan segitiga kuning?
3. Segitiga kecil (warna kuning) sebangun dengan segitiga besar, sehingga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama.
   
4. Sehingga diperoleh rumus deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio r untuk 0 < r < 1 adalah,
   
5. Untuk mendapatkan rumus deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r untuk 0 < r < 1, kalikan kedua ruas pada persamaan 4 dengan a.
   

Apabila Anda ingin membuat alat peraga tersebut, kami sediakan gambar panduannya.
Alat peraga di atas berfungsi untuk membantu siswa untuk berpikir dengan menggunakan objek konkrit. Dengan demikian, diharapkan konsep deret geometri akan lebih mudah dipahami.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Alat Peraga: Deret Geometri Tak Terhingga

Pembelajaran Limit Deret Geometri dengan Menggunakan Alat Peraga

Profesor Math sedang meneliti logam X yang baru saja ditemukan oleh sahabatnya di luar angkasa. Oleh Profesor Math, logam ini dibentuk sedemikian rupa sehingga menyerupai kelereng. Setelah dilakukan beberapa kali percobaan menjatuhkan logam tersebut, ternyata menghasilkan suatu kejadian yang sama, yaitu bola tersebut akan memantul ke atas sejauh setengah kali jarak sebelumnya. Untuk keperluan penelitiannya, Profesor Math ingin mengukur panjang keseluruhan lintasan yang ditempuh logam X dari awal logam tersebut dijatuhkan, dari ketinggian 1 m, sampai logam tersebut diam di tanah (tidak memantul). Dapatkah kamu membantu Profesor Math untuk menghitung panjang lintasan logam X tersebut?

Untuk menghitung panjang lintasan yang dilalui oleh logam X tersebut, sebaiknya kita bagi lintasannya menjadi 2 bagian, yaitu lintasan ke bawah, S₁, dan lintasan ke atas, S₂. Karena posisi awal logam X berada di atas sejauh 1 m dari tanah dan panjang lintasannya selalu setengah dari panjang lintasan sebelumnya, maka
S₁ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Sedangkan panjang lintasan ke atasnya, mulai dari 1/2 meter.
S₂ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
Dari kedua persamaan di atas dapat diperhatikan bahwa S₁ = 1 + S₂. Sehingga panjang keseluruhan lintasannya adalah S = S₁ + S₂ = (1 + S₂) + S₂ = 1 + 2S₂. Oleh karena itu, kita cari terlebih dahulu nilai dari S₂, yaitu panjang keseluruhan lintasan ke atas. Bagaimana cara menghitung nilai dari S₂ tersebut?

Gambar di atas merupakan gambar alat peraga dalam menemukan S₂. Alat peraga tersebut bisa dibuat dari kertas karton, yang dibentuk menjadi beberapa bangun segiempat yang luasnya 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, dan 1/64 satuan luas. Apabila segiempat-segiempat yang berwarna kuning tersebut diletakkan pada segiempat putih (yang memiliki luas 1 satuan luas) di sebelah kiri, maka akan menjadi seperti berikut.

Apabila kita buat kotak-kotak lagi yang luasnya 1/128, 1/256, 1/512, …, maka seluruh kotak-kotak tersebut akan memenuhi segiempat putih. Dari sini, apa yang dapat kita simpulkan?
Dari alat peraga di atas dapat diperoleh bahwa, S₂ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = 1. Sehingga S = S₁ + S₂ = (1 + S₂) + S₂ = 1 + 2S₂ = 1 + 2 × 1 = 1 + 2 = 3. Jadi, panjang keseluruhan lintasan yang ditempuh oleh logam X adalah 3 meter.
Selain deret di atas, masih terdapat deret tak terhingga lainnya yang memiliki nilai tertentu. Deret tersebut adalah 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … dan 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + …. Coba tebaklah berapa nilai dari kedua deret tersebut. Untuk mengetahui nilai dari kedua deret tersebut, mari kita lihat alat peraga yang menggambarkan kedua deret tersebut.

Perhatikan gambar (i). Kotak-kotak warna merah menunjukkan penjumlahan dari 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + …. Sedangkan kotak-kotak warna kuning luasnya sama dengan kotak-kotak warna merah. Apabila seluruh kotak warna merah dan kuning dijumlahkan maka akan menghasilkan kotak yang luasnya 1 satuan luas. Sehingga luas kotak warna merah adalah 1/2 satuan luas. Diperoleh, 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … = 1/2. Dengan penjelasan yang hampir sama pada gambar sebelah kanan, diperoleh 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + … = 1/3.
Dari ketiga alat peraga di atas, dapat ditarik kesimpulan seperti berikut.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = 1
1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … = 1/2
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + … = 1/3

Apabila ingin mengetahui pembuktian dari ketiga persamaan di atas, silahkan klik di sini.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Pembelajaran Limit Deret Geometri dengan Menggunakan Alat Peraga

Pengukuran Secara Tidak Langsung

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melakukan pengukuran untuk mengetahui berat (dalam fisika disebut sebagai massa), suhu, dan panjang suatu benda. Penjual di pasar-pasar sering menggunakan timbangan untuk menimbang berat barang-barang jualannya. Ibu bidan sering menggunakan termometer untuk mengukur suhu balita atupun ibu melahirkan. Sedangkan para tukang kayu biasanya menggunakan mistar ukur untuk mengetahui panjang dari kayu. Pada uraian yang akan kita bahas adalah bagaimana mengukur suatu objek yang sangat tinggi.

Untuk mengukur objek yang sangat tinggi, dapat digunakan teknik pengukuran secara tidak langsung. Salah satu metode pengukuran secara tidak langsung ini adalah menggunakan cermin. Cobalah pengukuran ini seperti yang dijelaskan pada investigasi berikut.
Investigasi: Cermin, Cermin
Pilihlah objek yang memiliki ketinggian yang sulit untuk diukur secara langsung, seperti ring basket, tiang bendera, atau ketinggian dari ruang kelasmu. Untuk mengukur ketinggian objek tersebut, misalkan tiang bendera, lakukan langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah tanda silang pada cermin dengan menggunakan spidol atau selotip. Sebut saja titik potong tanda silang tersebut sebagai titik X. Tempatkan cermin pada permukaan tanah yang berjarak beberapa meter dari objek yang akan diukur.
2. Pengamat harus bergerak ke titik P yang segaris dengan objek dan cermin untuk melihat bayangan dari titik F yang berada di puncak objek tersebut pada titik X di cermin tersebut. Buatlah sketsa dari posisi pengamat, cermin, dan objek yang diukur seperti gambar di atas.
3. Ukurlah jarak PX dan jarak dari titik X ke titik B yang merupakan dasar dari objek yang diukur tepat di bawah titik F. Ukurlah juga jarak antara titik P dengan level mata pengamat, E.
4. Anggaplah ruas garis FX sebagai sinar yang dipantulkan ke mata pengamat sepanjang ruas garis XE. Sesuai dengan sifat pencerminan, dapat dikatakan bahwa sudut BXF sama dengan sudut PXE. Demikian juga dengan sudut FBX sama dengan sudut EPX. Sehingga dapat disimpulkan bahwa segitiga FBX sebangun dengan segitiga EPX.
5. Gunakan sifat kesebangunan segitiga untuk memperkirakan ketinggian FB, EP : PX = FB : BX.

Metode lain dalam melakukan pengukuran secara tidak langsung menggunakan bayangan. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
Seseorang yang memiliki tinggi 1,75 m menghasilkan bayangan yang panjangnya 1,90 m. Pada saat yang sama, suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 4,50 m. Berapakah ketinggian dari pohon tersebut?

Pembahasan Contoh Soal
Sudut-sudut yang dibentuk oleh sinar, yang membentuk bayangan, dengan tanah merupakan sudut-sudut yang kongruen. Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah, kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan sd-sd). Tentukan tinggi pohon dengan menggunakan perbandingan dari sisi-sisi segitiga yang bersesuaian.

Jadi, tinggi pohon tersebut adalah 4 meter lebih 14 cm.
Untuk mengetahui metode pengukuran secara tidak langsung lainnya cobalah kerjakan soal latihan berikut ini.
Soal Latihan
Iwan menemukan suatu metode baru untuk mengukur ketinggian dari ruang kelasnya. Metodenya menggunakan benang dan penggaris. Dia mengikat ujung benang pada dasar tembok dan menggenggam ujung lainnya dengan menggunakan tangan kirinya. Dia juga memegang penggaris 12-inchi yang sejajar dengan tembok pada tangan kanannya dan mengatur posisinya sedemikian sehingga bagian dasar penggaris segaris dengan dasar tembok dan bagian atas penggaris segaris dengan bagian atas tembok. Sekarang, dengan menggunakan dua pengukuran, dia dapat mengukur tinggi dari ruang kelas tersebut secara tidak langsung. Jelaskan metode yang digunakan Iwan tersebut! Jika jarak antara mata Iwan dengan bagian bawah penggaris adalah 23 inchi dan jarak antara mata Iwan dengan bagian dasar tembok adalah 276 inchi, hitunglah tinggi dari ruang kelas tersebut!

Untuk mendownload pembahasan dari soal latihan di atas, silahkan klik di sini.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Pengukuran Secara Tidak Langsung

Menemukan Luas Permukaan Bola

Bumi yang kita pijak merupakan benda yang sangat besar sehingga menjadi hal yang masuk akal apabila kita menghitung jumlah luas tanah-tanah yang kita pijaki, yang bisa berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dan bentuk bangun datar lainnya, untuk menghitung keseluruhan luas permukaan bumi tersebut. Akan tetapi, demi kepraktisan, kita harus menemukan suatu rumus yang dapat menentukan luas dari suatu bola untuk menentukan luas permukaan bumi. Dan sekarang, dengan bermodalkan pengetahuan kalian mengenai rumus volume bola, mari kita cari bagaimana rumus untuk menemukan luas permukaan bola.

Penampakan bumi jika dilihat dari bulan

Investigasi: Menemukan Rumus Luas Permukaan Bola
Pada investigasi ini kalian akan memvisualisasikan permukaan bola yang ditutupi suatu bentuk yang sangat kecil dan mendekati datar, atau kita sebut saja “hampir poligon”. Sehingga luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas “hampir poligon” tersebut. Apabila kalian membayangkan jari-jari bola yang menghubungkan titik-titik sudut “hampir poligon” tersebut, maka kalian akan menemukan bangun ruang yang menyerupai limas, atau kita sebut saja “hampir limas”. Apabila diperhatikan, “hampir poligon” merupakan sisi alas dari “hampir limas”, dan jari-jari dari bola merupakan tinggi dari “hampir limas” tersebut. Sehingga, volume dari bola (V) merupakan penjumlahan dari volume “hampir limas” yang terbentuk akibat “hampir poligon” dan jari-jari lingkaran. Dan selanjutnya, kita lakukan beberapa manipulasi aljabar.

Bola sepak yang pada permukaannya terdapat “hampir segilima”

Langkah 1. Bagi permukaan bola menjadi 1000 “hampir poligon” yang masing-masing luasnya L₁, L₂, …, L₁₀₀₀. Sehingga, luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir poligon”.

L = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀

Langkah 2. Volume limas dengan alas L₁ adalah 1/3(L₁)r, sehingga total dari volume bola, V, merupakan penjumlahan dari volume 1000 limas.

V = 1/3(L₁)r + 1/3(L₂)r + … + 1/3(L₁₀₀₀)r

Langkah 3. Padahal seperti kita ketahui bahwa volume bola adalah V = 4/3(πr³). Substitusikan rumus ini ke persamaan pada langkah 2, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

4/3(πr³) = 1/3(L₁)r + 1/3(L₂)r + … + 1/3(L₁₀₀₀)r

Dengan mengalikan 3/r pada masing-masing ruas akan diperoleh persamaan berikut ini.

4πr² = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀

Karena luas permukaan bola, L, merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir limas”, maka L = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀. Sehingga,

L = 4πr²

Kesimpulan
Rumus luas permukaan bola, L, yang berjari-jari r adalah 4πr2.
Agar lebih memahami mengenai bagaimana penerapan rumus luas permukaan bola dalama pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menemukan Luas Permukaan Bola

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan bilangan merupakan urutan bilangan yang dibuat dengan aturan tertentu. Barisan aritmetika merupakan suatu barisan bilangan yang setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. Contoh dari barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

7, 10, 13, 16, 19, …

Perhatikan bahwa setiap pasangan berurutan pada barisan tersebut memiliki selisih yang sama, yaitu 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3. Selisih bilangan-bilangan berurutan pada barisan aritmetika disebut beda, dan biasanya disimbolkan dengan b. Sedangkan bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan U_n. Sehingga U₅ merupakan simbol dari suku ke-5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan, disimbolkan dengan a.
Suku ke-n Barisan Aritmetika
Pasangan suku-suku berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, sehingga:

U₂ = a + b
U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b
U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Dari pola di atas, dapatkah ditentukan suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50? Dengan menggunakan pola di atas, dapat diketahui dengan mudah suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50 dari barisan tersebut.

U₇ = a + 6b
U₂₃ = a + 22b
U₅₀ = a + 49b

Sehingga suku ke-n dari barisan aritmetika dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

U_n = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

Deret Aritmetika
Deret aritmetika merupakan penjumlahan dari semua anggota barisan aritmetika secara berurutan. Berikut ini merupakan salah satu contoh dari deret aritmetika.

7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Bagaimana cara menentukan hasil dari deret aritmetika, jika diambil n suku pertama? Misalkan akan dijumlahkan 5 suku pertama dari barisan 7, 10, 13, 16, 19, …

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Bagaimana jika yang akan ditentukan adalah jumlah dari 100 suku pertama? Tentunya kita akan kesulitan untuk menghitungnya satu persatu. Berikut ini adalah cara menentukan jumlah dari 5 suku pertama barisan aritmetika di atas tetapi dengan cara yang berbeda.
Misalkan S₅ = 7 + 10 + 13 + 16 + 19, maka

Sehingga nilai S₅, jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut, adalah 26 × 5 : 2 = 65.
Perhatikan bahwa S₅ di atas dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

S_n = (a + U_n) × n : 2

Karena U_n = a + (n – 1)b, maka rumus di atas menjadi,

S_n = (2a + (n – 1)b) × n : 2

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Barisan dan Deret Aritmetika

Pola Bilangan

Menemukan pola bilangan merupakan latihan yang dapat meningkatkan kemampuan dalam memberikan penalaran secara induktif (inductive reasoning). Apakah yang dimaksud dengan penalaran induktif?

Penalaran induktif (inductive reasoning) adalah suatu proses mengobservasi data, menemukan pola, dan membuat generalisasi dari hasil observasi tersebut.

Berikut ini adalah latihan yang menguji kemampuan bernalar secara induktif dalam menemukan bilangan atau huruf pada suatu barisan. Gunakanlah kemampuan bernalar secara induktif tersebut untuk melanjutkan barisan-barisan berikut!

1. 20, 18, 16, 14, –?–
2. 1, 4, 9, 16, 25, 36, –?–
3. T, Q, N, K, H, E, –?–
4. a, 6, c, 12, e, 18, –?–
5. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, –?–

Pelajari pola berikut, kemudian lengkapilah persoalan tersebut berdasarkan observasimu. (Jangan menggunakan alat hitung di sini. Yang kamu cari adalah polanya, tidak hanya jawaban bilangannya)

1.	1 ∙ 1 11 ∙ 11 111 ∙ 111 1111 ∙ 1111 11111 ∙ 11111	= = = = =	1 121 12321 1234321 –?–
2.	6 ∙ 7 66 ∙ 67 666 ∙ 667 6666 ∙ 6667 66666 ∙ 66667	= = = = =	42 4422 444222 44442222 –?–
3.	123456789 ∙ 9 123456789 ∙ 18 123456789 ∙ 27 123456789 ∙ 36 123456789 ∙ –?–	= = = = =	111111111 222222222 333333333 –?– 555555555
4.	9 ∙ 0 + 1 9 ∙ 1 + 2 9 ∙ 2 + 3 9 ∙ 3 + 4 –?–	= = = = =	1 11 21 –?– 41
5.	1 + (9 ∙ 0) 2 + (9 ∙ 1) 3 + (9 ∙ 12) 4 + (9 ∙ 123) –?–	= = = = =	1 11 111 –?– 11111
6.	8 + (9 ∙ 0) 7 + (9 ∙ 9) 6 + (9 ∙ 98) 5 + (9 ∙ 987) –?–	= = = = =	8 88 –?– –?– 88888

Meningkatkan Kemampuan Bernalar (Tambahan)
Perhatikan gambar berikut.

Masing-masing huruf pada soal di atas melambangkan bilangan-bilangan yang berbeda. Pertanyaannya: berapakah nilai B dan J?
Pembahasan dari permasalahan yang terakhir, dapat dilihat di bawah ini. Jika terdapat masalah dalam melihat file pembahasan, silahkan download file pembahasan tersebut di sini.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Pola Bilangan

Menemukan Rumus Volume Bola

Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai bagaimana cara menemukan rumus volume suatu bola. Dalam pembahasan kali ini akan digunakan suatu konsep yang dinamakan Prinsip Cavalieri. Prinsip Cavalieri menyatakan bahwa,

Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, maka kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.

Dengan menggunakan prinsip ini, akan didemonstrasikan bahwa kedua bangun ruang di bawah ini memiliki volume yang sama.

Setengah bola memiliki jari-jari r. Bangun ruang di sebelah kanan adalah suatu tabung yang memiliki tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r. Akan didemonstrasikan bahwa jika kedua bangun ruang di atas diiris pada ketinggian yang sama, bidang irisannya akan memiliki luas yang sama. Kemudian akan digunakan Prinsip Cavalieri untuk menunjukkan bahwa kedua bangun ruang di atas memiliki volume yang sama. Pada pembahasan kali ini, pembaca dianggap telah mengetahui rumus untuk menghitung volume tabung dan kerucut. Dengan demikian, volume “tabung dikurangi kerucut” di atas dapat dihitung. Setengah bola di atas seharusnya memiliki volume yang sama dengan “tabung dikurangi kerucut”. Bingung? Mari kita bahas secara lebih dalam.
Gambar sebelah kiri pada gambar di bawah ini merupakan suatu setengah bola yang memiliki jari-jari 15 cm. Kemudian setengah bola tersebut diiris dengan ketinggian 9 cm dari bawah dan menghasilkan bidang irisan yang berbentuk lingkaran. Di sebelah kanan setengah bola adalah suatu tabung yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm yang dipotong oleh kerucut yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm. Bangun ruang ini juga diiris dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk menyerupai cincin.

Untuk menghitung nilai x pada gambar di atas, digunakan Teorema Pythagoras:

x2 + 92 x2 x2 x2 x

= 152 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 = 12

Sehingga luas dari bidang irisan lingkaran adalah,
L_lingkaran = πr² = π(12)² = 144π
Kemudian akan dihitung luas bidang irisan cincin pada gambar kanan di atas. Karena tinggi dan jari-jari kerucut adalah sama, maka segitiga siku-siku besar di atas adalah segitiga sama kaki. Demikian juga dengan segitiga siku-siku yang kecil. Sehingga diperoleh y = 9.
L_cincin = πR² – πr² = π(15²) – π(9²) = π(225 – 81) = 144π
Pada penghitungan di atas menunjukkan bahwa kedua bidang irisan di atas memiliki luas yang sama.
Latihan

1. Suatu setengah bola yang berjari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.
2. Suatu “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.

Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa dua bidang irisan dari dua bangun datar setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama jika diiris dengan ketinggian 9 cm dari alas. Pada latihan, juga ditunjukkan bahwa kedua bidang irisan pada soal nomor 1 dan 2 memiliki luas bidang irisan yang sama. Kemudian logis jika muncul suatu dugaan bahwa bidang irisan dari setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama apabila diiris dari ketinggian yang sama. Untuk mendemonstrasikan bahwa setengah lingkaran dengan jari-jari r dan “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari r, memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris dengan sebarang ketinggian h dari alas, akan ditemukan luas bidang irisan dari masing-masing bangun ruang tersebut dari ketinggian h.

Luas dari bidang irisan yang berbentuk lingkaran adalah πx2. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh x2 + h2 = r2. Sehingga x2 = (r2 – h2). Dengan sedikit perhitungan aljabar, diperoleh luas bidang irisan lingkaran adalah π(r2 – h2).

Luas dari bidang cincin adalah πr2 – πy2. Akan tetapi, karena x dan y adalah kaki-kaki dari segitiga sama kaki, maka y = x. Sehingga diperoleh luas cincin adalah π(r2) – π(h2). Dengan pemfaktoran diperoleh, π(r2 – h2)

Karena dipilih sebarang tinggi, dan kedua bidang irisan di atas memiliki luas π(r² – h²), maka kedua bangun ruang di atas (setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut”) memiliki volume yang sama, berdasarkan Prinsip Cavalieri.
Volume dari “tabung dikurangi kerucut” dapat dihitung dengan mengurangkan volume tabung dengan volume kerucut. Volume yang diperoleh sama dengan volume setengah lingkaran.

Vtabung

= A x t = (πr2)r = πr3

Vkerucut

= (1/3)A x t = (1/3)(πr2)r = (1/3)πr3

Sehingga, volume dari “tabung dikurangi kerucut” adalah πr³ – (1/3)πr³ atau (2/3)πr³. Dengan menggunakan Prinsip Cavalieri, setengah bola juga memiliki volume (2/3)πr³. Karena volume bola adalah dua kali volume setengah bola, maka dapat diperoleh volume bola. Nyatakan kesimpulanmu pada konjektur berikut ini.

Volume bola yang berjari-jari r adalah –?—. (Konjektur Volume Bola)

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menemukan Rumus Volume Bola

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Selain dengan menggunakan metode grafik dan substitusi, permasalahan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi. Dengan menggunakan metode ini, kita harus mengeliminasi/menghilangkan salah satu variabel dengan cara penjumlahan ataupun pengurangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan himpunan selesaian dari SPLDV yang memuat persamaan-persamaan 2x + 5y = –3 dan 3x – 2y = 5.

Grafik dari kedua persamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk menentukan selesaiannya, pertama kita harus mengeliminasi salah satu variabelnya. Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut. Koefisien x pada persamaan 1 dan 2 secara berturut-turut adalah 2 dan 3. Sehingga kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut menjadi KPK dari 2 dan 3, yaitu 6, dengan mengalikan persamaan 1 dengan 3 dan persamaan 2 dengan 2.

Dengan cara yang sama, kita dapat mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai dari x.

Sehingga diperoleh selesaiannya adalah x = 1 dan y = –1, atau dapat dituliskan sebagai himpunan selesaian Hp = {(1, –1)}.
Menyelesaikan SPLDV dengan Menggunakan Metode Campuran
Metode eliminasi juga dapat dipadukan dengan metode substitusi dalam menyelesaikan suatu permasalahan SPLDV. Perhatikan contoh berikut.

Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang.

Misalkan umur ayah dan anak perempuannya secara berturut-turut adalah m dan n, maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

Grafik dari persamaan-persamaan m – n = 26 dan m + n = 44 dapat digambarkan seperti berikut.

Pertama, kita akan mengeliminasi variabel n untuk mendapatkan nilai dari m dengan menjumlahkan persamaan 1 dengan persamaan 2.

Selanjutnya kita substitusikan m = 35 ke salah satu persamaan, misalkan ke persamaan 1. Sehingga diperoleh,

Jadi, umur ayah dan anak perempuannya saat ini secara berturut-turut adalah 35 tahun dan 9 tahun.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi