Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Terdapat beberapa macam kurva dalam keluarga irisan kerucut, 3 di antaranya adalah lingkaran, elips, dan hiperbola. Pada contoh berikut, kita akan mengidentifikasi jenis kurva apa yang dibentuk oleh persamaan-persamaan yang diberikan, tanpa melukis grafik persamaannya. Seperti yang akan kita ketahui, jenis-jenis persamaan yang bersesuaian akan memiliki karakteristik tertentu yang dapat membantu kita untuk membedakan antara persamaan satu dengan persamaan lainnya.

Contoh: Mengidentifikasi Irisan Kerucut dari Persamaannya
Identifikasi masing-masing persamaan berikut apakah merupakan persamaan lingkaran, elips, ataukah hiperbola. Berikan alasanmu dan tentukan titik pusatnya, tetapi jangan menggambar grafik-grafiknya.

1. y² = 36 + 9x²
2. 4x² = 16 – 4y²
3. x² = 225 – 25y²
4. 25x² = 100 + 4y²
5. 3(x – 2)² + 4(y + 3)² = 12
6. 4(x + 5)² = 36 + 9(y – 4)²

Pembahasan

1. Dengan menulis persamaannya menjadi y² – 9x² = 36, kita memperoleh a = 0 dan b = 0. Karena persamaan tersebut memuat selisih suku-suku berderajat dua, maka persamaan tersebut merupakan persamaan hiperbola (vertikal). Titik pusat dari hiperbola tersebut adalah (0, 0).
2. Kita tulis kembali persamaan tersebut menjadi 4x² + 4y² = 16, kemudian membagi kedua ruas dengan 4, maka kita akan memperoleh persamaan x² + y² = 4. Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran berjari-jari 2 dan memiliki titik pusat di (0, 0).
3. Persamaan x² = 225 – 25y² dapat ditulis menjadi x² + 25y² = 225. Persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (0, 0).
4. Dengan menulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 25x² – 4y² = 100, kita dapat melihat persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan dari hiperbola (horizontal) dengan titik pusat di (0, 0).
5. Persamaan yang diberikan memiliki bentuk pemfaktoran dan memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua dengan koefisien yang berbeda. Persamaan ini merupakan persamaan suatu elips dengan titik pusat di (2, –3).
6. Setelah kita tulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 4(x + 5)² – 9(y – 4)² = 36, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan suatu hiperbola horizontal dengan titik pusat di (–5, 4).

Dari 5 soal latihan di atas, kita sudah dapat membedakan antara persamaan-persamaan lingkaran, elips, dan hiperbola. Persamaan-persamaan lingkaran dan elips memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Akan tetapi, suku-suku berderajat dua pada persamaan lingkaran memiliki koefisien yang sama. Sebaliknya, suku-suku berderajat dua pada persamaan elips memiliki koefisien yang berbeda. Pada hiperbola, persamaannya memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Semoga bermanfaat, yos3prens.

->BACA SELENGKAPNYA- - Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

5 Soal dan Pembahasan Penerapan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Penerapan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat muncul di berbagai bentuk dan sektor. Di dunia bisnis dan keuangan, SPLTV dapat digunakan untuk mendiversifikasi investasi dan penghitungan pinjaman. Berikut ini contoh penerapan SPLTV dalam keuangan.

Contoh 1: Memodelkan Permasalahan Keuangan
Suatu perusahaan rumahan meminjam Rp 2.250.000.000,00 dari tiga bank yang berbeda untuk memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6%, dan 7 %. Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalah Rp 130.000.000,00 dan banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%?
Pembahasan Misalkan x, y, dan z secara berturut-turut adalah banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5%, 6%, dan 7%. Ini berarti yang menjadi persamaan pertama kita adalah x + y + z = 2.250 (dalam jutaan). Persamaan kedua diperoleh dari total bunga pertahunnya, yaitu Rp 130.000.000,00: 0,05x + 0,06y + 0,07z = 130. Sedangkan persamaan ketiga dapat diperoleh dari kalimat, “banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%”, sehingga persamaannya adalah x = 2z. Ketiga persamaan tersebut membentuk sistem seperti berikut.

Suku-x pada persamaan pertama adalah 1. Apabila dituliskan kembali ke dalam bentuk standar, sistem tersebut akan menjadi

Gunakan –5P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x di P2, dan –P1 + P3 untuk mengeliminasi suku-x di P3.

Sehingga, P2 yang baru adalah y + 2z = 1.750 dan P3 yang baru adalah y + 3z = 2.250 (setelah dikalian dengan –1), yang menghasilkan sistem berikut.

Dengan menyelesaikan subsistem 2 × 2 (dua persamaan terakhir) menggunakan –P2 + P3 menghasilkan z = 500. Selanjutnya dengan menerapkan substitusi balik akan menghasilkan x = 1.000 dan y = 750. Diperoleh selesaian SPLTV tersebut adalah (1.000, 750, 500). Ini berarti bahwa perusahaan tersebut meminjam 1 miliar rupiah pada bunga 5%, 750 juta rupiah pada bunga 6%, dan 500 juta rupiah pada bunga 7%. 

->BACA SELENGKAPNYA- - 5 Soal dan Pembahasan Penerapan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang Bergantung dan Tidak Konsisten

Terdapat beberapa jenis selesaian dari SPLTV, yaitu selesaian yang tunggal, tak terhingga, dan tidak ada selesaian. SPLTV yang tidak memiliki selesaian akan mengarah pada hasil yang tidak konsisten, diakhiri dengan pernyataan seperti 0 = –3 atau kontradiksi lainnya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan SPLTV yang Tidak Konsisten
Selesaikan SPLTV berikut dengan menggunakan cara eliminasi.

Pembahasan

1. Sistem ini tidak memiliki persamaan yang suku-x berkoefisien 1.
2. Kita masih bisa menggunakan P1 (persamaan 1) untuk memulai proses, tetapi kali ini kita akan menggunakan variabel y karena koefisiennya 1.
   Dengan menggunakan 2P1 + P2 untuk mengeliminasi y pada P2, menyisakan 7x – 2z = –4. Tetapi dengan menggunakan –2P1 + P3 untuk mengeliminasi suku-y dari P3 akan menghasilkan kontradiksi.
   
   Kita dapat menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten. Sehingga himpunan selesaiannya adalah himpunan kosong Ø, dan kita tidak perlu menyelesaikan sistem tersebut lebih jauh.

Tidak seperti sistem linear dua variabel, SPLTV memiliki 2 bentuk ketergantungan, yaitu bergantung linear dan bergantung kongruen. Untuk membantu dalam memahami sistem yang bergantung linear, perhatikan SPLTV yang memiliki 2 persamaan: –2x + 3y – z = 5 dan x – 3y + 2z = –1. Masing-masing persamaan tersebut merepresentasikan bidang, dan jika kedua bidang tersebut tidak sejajar, irisan dari bidang-bidang tersebut akan membentuk suatu garis. Selesaian dari sistem seperti ini dapat ditulis dengan menggunakan salah satu variabel untuk menuliskan dua variabel lainnya, atau dengan menggunakan 3 bilangan berurutan yang ditulis dengan parameter.
Suatu sistem dengan dua persamaan dan dua variabel atau tiga persamaan dan tiga variabel disebut dengan sistem persegi, yang berarti bahwa banyaknya persamaan dalam sistem sama dengan banyaknya variabel. Suatu sistem persamaan linear tidak dapat memiliki solusi yang tunggal jika banyaknya persamaan kurang dari banyaknya variabel.
Contoh 2: Menyelesaikan Sistem yang Bergantung
Selesaikan SPLTV berikut dengan menggunakan eliminasi.

Pembahasan Dengan menggunakan P1 + P2 akan mengeliminasi suku-y dari P2, menghasilkan –x + z = 4. Ini berarti bahwa (x, y, z) akan memenuhi kedua persamaan jika x = z – 4 (koordinat-x harus 4 kurangnya dari koordinat-z). Karena x dinyatakan dalam variabel z, selanjutnya substitusikan x = z – 4 ke salah satu persamaan untuk menyatakan y ke dalam variabel z. Dengan menggunakan P2 kita memperoleh: (z – 4) – 3y + 2z = –1, yang menghasilkan y = z – 1 (koordinat-y harus 1 kurangnya dari koordinat-z). Jika dinyatakan dalam himpunan, maka himpunan selesaiannya adalah {(x, y, z) | x = z – 4, y = z – 1, z bilangan real}. Untuk z = –1, 0, dan 5, solusinya secara berturut akan menjadi (–5, –2, –1), (–4, –1, 0), dan (1, 4, 5). Dengan menggunakan p sebagai parameter, solusinya juga dapat ditulis menjadi (p – 4, p – 1, p) yang merupakan bentuk parametrik.
Sistem pada contoh 2 di atas merupakan sistem yang tidak persegi, sehingga secara langsung kita dapat mengetahui bahwa sistem tersebut merupakan sistem yang bergantung. Sistem pada contoh 3 berikut merupakan sistem yang persegi, tetapi hanya dengan melalui proses eliminasi kita dapat menentukan sifat dari selesaiannya.
Contoh 3: Menyelesaikan Sistem yang Bergantung
Selesaikan SPLTV berikut dengan eliminasi.

Pembahasan Sistem tersebut tidak memiliki persamaan yang koefisien variabel x-nya sama dengan 1. Kita masih bisa menggunakan P1, tetapi dengan mengeliminasi suku-z dari P2 (tidak ada suku-z di P3). Dengan P1 + P2 akan mengeliminasi suku-z dari P2 dan menghasilkan 5x – y = 4.

Selanjutnya kita akan menyelesaikan subsistem dari SPLTV yang baru tersebut. Dengan menggunakan –2P2 + P3 akan mengeliminasi suku-y di P3, tetapi juga mengeliminasi suku lainnya.

Karena P3 sama dengan 2 ∙ P2, maka sistem tersebut bergantung secara linear dan ekuivalen dengan sistem,

Dari P2 kita dapat menyelesaikan y ke dalam variabel x: y = 5x – 4. Dengan mensubstitusikan 5x – 4 ke dalam y pada P1 akan menghasilkan nilai z ke dalam variabel x.

Sehingga, himpunan selesaiannya adalah {(x, y, z) | y = 5x – 4, z = 7x – 9, x bilangan real}. Dengan menggunakan parameter p, solusinya juga dapat dituliskan menjadi (p, 5p – 4, 7p – 9) ke dalam bentuk parametrik.
Selesaian-selesaian dari sistem yang bergantung linear dapat dituliskan ke dalam x, y, atau z, tergantung dari variabel yang dieliminasi pada langkah pertama dan variabel yang kita pilih pada langkah selanjutnya.
Untuk sistem yang bergantung kongruen, persamaan-persamaan pada sistem tersebut hanya berbeda pada pengalinya. Setelah menerapkan proses eliminasi, semua variabel akan tereliminasi dan menghasilkan pernyataan yang selalu benar (seperti 3 = 3, atau yang lainnya). Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang Bergantung dan Tidak Konsisten

Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

Gerak suatu objek yang dilempar ke atas merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan rumus h = –5t² + vt + k, dengan h adalah ketinggian objek tersebut dalam meter, t adalah waktu dalam detik, dan v adalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstanta k merepresentasikan ketinggian awal dari objek dari permukaan tanah. Untuk lebih memahami mengenai gerak objek yang dilempar ke atas, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat
Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Pembahasan Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t² + 20t + 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t = 3 ke dalam persamaan tersebut.

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah adalah 4,28 detik.
Contoh 2: Permasalahan Pelanggan Telepon Genggam
Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N (dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x² + 36,1x + 83,3, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States, Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta?
Pembahasan Dari soal diketahui bahwa N = 17,4x² + 36,1x + 83,3 dan kita diminta untuk menentukan tahun ketika banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai 3.750 juta. Dengan kata lain, kita diminta untuk menentukan nilai 1995 + x ketika N = 3.750.

Karena waktu tidak pernah negatif, maka kita simpulkan bahwa 13,52 tahun setelah tahun 1995, yaitu tahun 2008, banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

Diskriminan dari Persamaan Kuadrat

Perhatikan bahwa √X merupakan bilangan real jika dan hanya jika X ≥ 0. Karena selesaian persamaan kuadrat memuat bentuk akar √(b2 – 4ac), bentuk aljabar b2 – 4ac, yang disebut diskriminan, akan menentukan sifat dan banyaknya selesaian/akar dari persamaan kuadrat yang diberikan.

Diskriminan

Diskriminan dari Persamaan Kuadrat

Untuk ax2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0,

    Jika b2 – 4ac = 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu selesaian bilangan real.
    Jika b2 – 4ac > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan real.
    Jika b2 – 4ac < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks.

Catatan Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam a + bi, dengan a dan b bilangan real, dan i = √(–1). Misalnya, 1 + √(–8) adalah bilangan kompleks karena 1 + √8 ∙ √–1 = 1 + 2√2 i. Karena semua bilangan real dapat dinyatakan ke dalam bentuk a + bi (dengan b = 0), maka himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks.

Dengan menganalisis secara lebih jauh mengenai diskriminan akan diperoleh beberapa sifat dari persamaan kuadrat tertentu. Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rasional dan diskriminannya merupakan bilangan kuadrat tidak nol, maka akan ada dua akar rasional dari persamaan tersebut. Atau dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Jika diskriminannya bukan bilangan kuadrat, maka akan ada dua akar yang sekawan. Dan jika diskriminannya nol, maka akan ada satu akar yang merupakan bilangan rasional, dan persamaan kuadratnya merupakan kuadrat dari binomial.

Contoh: Menggunakan Diskriminan untuk Analisis Selesaian

Gunakan diskriminan untuk menganalisis persamaan-persamaan kuadrat berikut apakah memiliki akar bilangan real. Jika iya, nyatakan apakah akar-akar tersebut merupakan bilangan rasional atau irasional, dan apakah persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan atau tidak.

    2x2 + 5x + 2 = 0
    x2 – 4x + 7 = 0
    4x2 – 20x + 25 = 0

Pembahasan

    Persamaan 2x2 + 5x + 2 = 0 memiliki a = 2, b = 5, dan c = 2. Sehingga,
    Diskriminan I
    Kita peroleh bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut merupakan bilangan kuadrat tidak nol. Maka persamaan tersebut memiliki 2 akar rasional dan dapat difaktorkan.
    Dari persamaan x2 – 4x + 7 = 0 kita peroleh a = 1, b = –4, dan c = 7.
    Diskriminan II
    Karena –12 < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar bilangan kompleks dan tidak dapat difaktorkan.
    Persamaan kuadrat 4x2 – 20x + 25 = 0 memiliki a = 4, b = –20, dan c = 25. Maka,
    Diskriminan III
    Karena diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar bilangan rasional dan dapat difaktorkan.

Perhatikan kembali contoh (2) di atas. Diskriminan persamaan kuadrat pada contoh soal tersebut adalah –12, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks, yaitu

Akar Persamaan II

Akar-akar tersebut dapat dituliskan sebagai x = 2 + √3 i dan x = 2 – √3 i, yang merupakan dua bilangan kompleks yang sekawan.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Diskriminan dari Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat

Pada pembahasan ini kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Sebelum itu, kita akan mencoba untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 2x² + 5x + 3 = 0. Perhatikan langkah-langkah dalam menyelesaikan 2x² + 5x + 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat berikut.

Sehingga diperoleh selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah x = –1 dan x = –3/2. Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Solusi-solusi dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 di atas selanjutnya disebut sebagai rumus kuadrat, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat.

Rumus Kuadrat
Jika ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, maka

atau dapat dituliskan menjadi,

Catatan Perlu diketahui bahwa nilai a, b, dan c diperoleh dari persamaan kuadrat yang ditulis ke dalam bentuk standar. Untuk 3x² – 5x = –7, a = 3, b = –5, tetapi c ≠ –7! Bentuk standar dari persamaan tersebut adalah 3x² – 5x + 7 = 0, sehingga nilai c dari persamaan tersebut adalah 7.
Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
Selesaikan persamaan 4x² + 1 = 8x dengan menggunakan rumus kuadrat. Nyatakan solusi-solusinya dalam bentuk eksak dan bentuk desimalnya (tiga angka di belakang koma). Ujilah salah satu selesaian eksaknya ke dalam persamaan.
Pembahasan Persamaan kuadrat 4x² + 1 = 8x memiliki bentuk standar 4x² – 8x + 1 = 0. Sehingga dari bentuk standar tersebut kita peroleh a = 4, b = –8, dan c = 1. Selanjutnya kita tentukan selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus kuadrat.

Selanjutnya kita uji salah satu selesaiannya, yaitu x = 1 + √3/2 ke dalam persamaan.

Setelah kita uji, ternyata selesaian tersebut memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Perhatikan persamaan kuadrat, (x – 5)² = 24. Jika kita menuliskan kuadrat dari binomial tersebut menjadi bentuk panjangnya, kita memperoleh x² – 10x + 25 = 24. Sehingga, apabila persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk standar maka akan menjadi x² – 10x + 1 = 0, yang sangat sulit dipecah ke dalam perkalian faktor-faktornya karena faktor-faktor persamaan tersebut merupakan bilangan irasional. Dengan membalik proses di atas, kita akan mendapatkan strategi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Strategi tersebut selanjutnya disebut cara melengkapkan kuadrat. Perhatikan ilustrasi berikut.

Pada umumnya, setelah memindah konstanta ke ruas yang lain (lihat baris kedua), bilangan yang dapat “melengkapi kuadrat” dapat ditentukan dengan mengkuadratkan setengah dari koefisien suku linear: [1/2 ∙ (10)]2 = 25. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, selesaikanlah x² + 13 = 6x.
Pembahasan Karena x² + 13 = 6x tidak dalam bentuk standar, maka kita harus menuliskannya ke dalam bentuk standar terlebih dahulu.

Proses melengkapkan kuadrat dapat dilakukan terhadap semua persamaan kuadrat dengan koefisien suku-x², a = 1. Jika koefisien dari suku-x² tidak 1, maka kita harus membagi persamaan tersebut dengan a. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat.
Melengkapkan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat
Untuk menyelesaikan ax² + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:

1. Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.
2. Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x², a.
3. Hitung [1/2 ∙ (b/a)]² dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.
4. Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.
5. Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Dengan melengkapkan kuadrat, selesaikan –3x² + 1 = 4x.
Pembahasan Bentuk standar dari –3x² + 1 = 4x adalah –3x² – 4x + 1 = 0. Sehingga,

Jadi, selesaian-selesaian dari persamaan –3x² + 1 = 4x  adalah x = –2/3 + √7/3 atau x = –2/3 – √7/3. Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sifat Akar Kuadrat

Persamaan x² = 25 dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Bentuk standar dari x² = 25 adalah x² – 25 = 0 yang dapat difaktorkan menjadi (x – 5)(x + 5) = 0. Sehingga, solusi-solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 5 atau x = –5, yang merupakan bilangan positif dan negatif dari akar kuadrat 25. Hasil ini memberikan suatu metode untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang berbentuk X² = k, yang selanjutnya disebut sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

Sifat Akar Kuadrat dari Suatu Persamaan
Jika X merepresentasikan suatu bentuk aljabar dan X² = k, maka X = √k atau X = –√k, atau juga dapat dituliskan X = ±√k

Untuk lebih memahami penggunaan metode ini dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh 3: Penggunaan Sifat Akar Kuadrat dari Suatu Persamaan
Gunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan untuk menyelesaikan masing-masing persamaan berikut.

1. –9x² + 12 = –13
2. x² – 18 = 0
3. (x + 1)² = 36

Pembahasan

1. Persamaan –9x² + 12 = –13 tidak berbentuk X² = k. Sehingga kita harus mengubah persamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk seperti itu.
   
   Sehingga, selesaian dari persamaan –9x² + 12 = –13 adalah x = 5/3 atau x = –5/3.
2. Bentuk X² = k dari x² – 18 = 0 adalah x² = 18. Sehingga,
   
   Jadi, selesaian dari persamaan x² – 18 = 0 adalah x = 3√3 atau x = –3√3.
3. Persamaan (x + 1)² = 36 sudah memiliki bentuk X² = k. Sehingga,
   
   Sehingga, selesaian dari persamaan (x + 1)2 = 36 adalah x = 6 – 1 = 5 atau x = –6 – 1 = –7.

Untuk persamaan yang berbentuk (ax + b)² = k (seperti contoh 3), dapat juga diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Akan tetapi kita harus menulis pangkat dua binomial tersebut ke dalam ekspansi/bentuk panjangnya, kemudian menyederhanakan persamaan yang diperoleh agar ruas kanan sama dengan nol dan terakhir, kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut untuk menentukan selesaian-selesaiannya. Dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan, kita dapat menyelesaikan persamaan yang berbentuk (ax + b)² = k secara lebih mudah.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sifat Akar Kuadrat

Persamaan Kuadrat dan Sifat Perkalian Nol

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah bilangan real, dan a ≠ 0. Bentuk tersebut disebut sebagai bentuk standar dari persamaan kuadrat. Bentuk standar tersebut memiliki suku-suku yang derajatnya turun secara terurut dan persamaannya sama dengan nol.

Persamaan Kuadrat
Suatu persamaan kuadrat dapat ditulis ke dalam bentuk ax² + bx + c, di mana a, b, c bilangan real, dan a ≠ 0.

Dalam persamaan kuadrat, a disebut sebagai koefisien utama, b disebut sebagai koefisien suku linear, dan c disebut sebagai konstanta. Semua persamaan kuadrat berderajat dua, tetapi dapat memiliki satu, dua, atau tiga suku. Persamaan p² – 36 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan dua suku, di mana a = 1, b = 0, dan c = –36.
Contoh 1: Menggolongkan Suatu Persamaan
Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Jika iya, tentukan koefisien-koefisien a, b, dan c.

1. 3x² – 15 = 0
2. z³ + 3z² + 3z + 1 = 0
3. 0,3x² = 0

Pembahasan Persamaan pada soal nomor 1 merupakan persamaan kuadrat dengan a = 3, b = 0, dan c = –15. Akan tetapi persamaan pada nomor 2 berderajat 3, artinya variabel pada persamaan tersebut pangkat tertingginya 3. Sehingga persamaan pada soal nomor 2 bukan persamaan kuadrat. Seperti dengan soal nomor 1, persamaan pada nomor 3 merupakan persamaan kuadrat, dengan a = 0,3, b = 0, dan c = 0.
Pada persamaan kuadrat dan persamaan polinomial lainnya, pada umumnya kita tidak dapat memisahkan variabel ke dalam satu ruas saja, karena variabel-variabelnya memiliki pangkat yang berbeda. Sehingga kita harus menyelesaikannya dengan menggunakan pemfaktoran dan menerapkan sifat perkalian nol.

Sifat Perkalian Nol
Jika A dan B adalah bilangan real atau bentuk aljabar untuk bilangan real, dan A ∙ B = 0, maka A = 0 atau B = 0.

Dengan kata lain, jika hasil kali dari sembarang 2 faktor (atau lebih) sama dengan nol, maka paling sedikit ada satu faktor yang sama dengan nol. Kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelesaikan persamaan dengan derajat yang lebih besar setelah menuliskannya ke dalam perkalian dari persamaan dengan derajat lebih kecil. Seperti pada persamaan linear, nilai yang dapat menyebabkan suatu persamaan menjadi benar disebut sebagai selesaian atau akar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat Perkalian Nol
Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan menuliskannya ke dalam perkalian faktor-fakornya kemudian gunakan sifat perkalian nol.

1. 3x² = 8x
2. 5x + 2x² = 3
3. 9x² = 30x – 25

Pembahasan

1. Kita tulis persamaan 3x² = 8x ke dalam bentuk standar, kemudian kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut.
   
   Sehingga, x = 0 atau 3x – 8 = 0. Karena 3x – 8 = 0 maka kita dapat memperoleh x = 8/3. Jadi, selesaian-selesaian dari 3x² = 8x adalah x = 0 atau x = 8/3.
2. Persamaan 5x + 2x² = 3 dapat ditulis ke dalam bentuk 2x² + 5x – 3 = 0. Selanjutnya kita selesaikan persamaan kuadrat tersebut.
   
   Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 1/2 atau x = –3.
3. Persamaan 9x² = 30x – 25 dapat ditulis menjadi 9x² – 30x + 25 = 0. Sehingga kita memperoleh,
   
   Sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu selesaian, yaitu x = 5/3, yang juga disebut sebagai akar berulang.

Dan akhirnya, pada pembahasan ini kita telah membahas mengenai pengertian persamaan kuadrat dan sifat perkalian nol. Selain itu kita juga telah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan menggunakan sifat perkalian nol untuk menentukan akar/selesaian dari persamaan tersebut.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Persamaan Kuadrat dan Sifat Perkalian Nol

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Beberapa sistem persamaan dikatakan ekuivalen apabila sistem-sistem tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Perhatikan dua SPLTV berikut.

Kedua SPLTV tersebut merupakan dua sistem yang ekuivalen karena selesaiannya sama, yaitu (–3, 1, 1). Akan tetapi, SPLTV yang kedua lebih sederhana daripada SPLTV yang pertama karena persamaan 2 dan 3 pada SPLTV kedua memiliki variabel yang sedikit daripada SPLTV yang pertama. (Catatan: Persamaan 2 dan 3 secara berturut-turut artinya persamaan yang terletak di baris ke-2 dan ke-3 dari suatu sistem). Pada SPLTV yang kedua, kita dapat mensubstitusi z = 1 ke persamaan ke-2 untuk mendapatkan y = 1, dan mensubstitusi kedua nilai tersebut ke dalam persamaan 1 untuk memperoleh x = –3.
Dari uraian di atas, kita dapat mengamati bahwa dalam menyelesaikan SPLTV kita dapat menyederhanakan persamaan kedua dan ketiga dalam sistem tersebut, sampai kita mendapatkan suatu sistem yang ekuivalen dan dapat diselesaikan dengan mudah. Selanjutnya, perhatikan operasi-operasi yang dapat menghasilkan sistem persamaan yang ekuivalen berikut.

1. Mengubah urutan persamaan.
2. Mengganti suatu persamaan dengan hasil kali bilangan tidak nol terhadap persamaan tersebut.
3. Mengganti suatu persamaan dengan hasil penjumlahan dari dua persamaan dalam sistem tersebut.

Berdasarkan 3 operasi di atas, kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan pendekatan berikut.

1. Tulis semua persamaan ke dalam bentuk standar: Ax + By + Cz = D.
2. Apabila ada persamaan yang variabel x-nya memiliki koefisien 1, jadikan persamaan tersebut menjadi persamaan 1.
3. Gunakan suku-x pada persamaan 1 untuk mengeliminasi suku-x pada persamaan 2 dan 3. Persamaan 1 serta persamaan 2 dan 3 yang baru akan menghasilkan suatu sistem yang memuat subsistem persamaan linear dalam dua variabel.
4. Selesaikan subsistem yang dihasilkan pada langkah 3 untuk dijadikan persamaan 3 yang baru. Sistem yang terakhir merupakan sistem yang sederhana dan dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi terbalik.

Selanjutnya kita akan mencoba untuk menyelesaikan SPLTV,

dengan menggunakan 4 langkah di atas. Pada contoh 3 berikut, notasi –2P1 + P2 → P2 mengindikasikan bahwa hasil dari persamaan pada baris pertama dikalikan dengan –2 dan dijumlahkan dengan persamaan pada baris kedua akan menggantikan persamaan pada baris kedua untuk menjadi persamaan 2 yang baru.
Contoh: Menyelesaikan SPLTV
Tentukan selesaian dari SPLTV berikut.

Pembahasan Semua persamaan dalam SPLTV tersebut merupakan persamaan dalam bentuk standar. Sehingga kita tidak perlu mengubah letak dari suku-suku persamaan tersebut. Karena koefisien x pada persamaan 2 adalah 1, jadikan persamaan ini menjadi P1.

Gunakan P1 untuk mengeliminasi suku-x pada P2 dan P3. Karena P3 tidak memiliki suku-x, kita cukup melakukan eliminasi tersebut terhadap P2. Gunakan operasi –2P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x tersebut.

P2 yang baru adalah y + 4z = 5. P1 dan P3, bersama dengan P2 yang baru akan membentuk sistem yang memiliki subsistem dalam dua variabel.

Selesaiakan subsistem dalam 2 variabel tersebut ke dalam y atau z, dan jadikan hasilnya sebagai P3 yang baru. Apabila kita ingin mengeliminasi variabel y, gunakan operasi 2P2 + P3.

P3 yang baru adalah z = 1.

Selanjutnya kita kita dapat mensubstitusi z = 1 ke P2 untuk mendapatkan y = 1. Substitusi z = 1 dan y = 1 akan menghasilkan x = –3 pada P1. Semoga bermanfaat, yos3prens.

15.00
Selanjutnya kita kita dapat mensubstitusi z = 1 ke P2 untuk mendapatkan y = 1. Substitusi z = 1 dan y = 1 akan menghasilkan x = –3 pada P1. 
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Selesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), ingat bahwa masing-masing persamaan memiliki grafik berupa suatu bidang datar dalam ruang tiga dimensi. Bidang-bidang tersebut dapat saling berpotongan dengan bermacam-macam cara, yang menghasilkan kemungkinan himpunan selesaian yang berbeda pula. Perhatikan ilustrasi berikut.

Sistem persamaan linear tiga variabel dapat memiliki tepat satu selesaian (a, b, c), jika bidang-bidang pada sistem tersebut berpotongan tepat di satu titik (gambar a). Dengan kata lain, titik ini memenuhi semua persamaan pada sistem tersebut. Apabila bidang-bidang tersebut berpotongan pada suatu garis (gambar b), maka sistem tersebut disebut tergantung secara linear (linearly dependent) dan terdapat selesaian yang tak hingga banyaknya. Tidak seperti kasus pada dua dimensi, persamaan garis pada ruang tiga dimensi merupakan sesuatu yang kompleks, dan koordinat semua titik pada garis tersebut biasanya direpresentasikan dengan rumus pada tiga variabel berurutan, yang digunakan untuk menyatakan himpunan selesaiannya.
Jika bidang-bidang berpotongan pada semua titik, sistem tersebut disebut tergantung secara kongruen (coincidentally dependent), lihat gambar c. Hal ini mengindikasikan bahwa persamaan-persamaan pada sistem tersebut hanya berbeda pada pengali konstannya, atau dengan kata lain persamaan-persamaan tersebut sebenarnya sama. Himpunan selesaian dari kasus ini adalah sembarang tiga bilangan berurutan (a, b, c) yang memenuhi persamaan tersebut. Dan yang terakhir, suatu SPLTV mungkin juga tidak memiliki selesaian atau himpunan selesaiannya adalah himpunan kosong. Kasus ini dapat terjadi dengan cara yang berbeda-beda, dan yang paling sering muncul adalah kasus yang ditunjukkan oleh gambar d di atas. Pada kasus yang tidak memiliki selesaian ini, suatu tiga bilangan berurutan mungkin tidak memenuhi semua persamaan, hanya memenuhi satu atau dua persamaan. Untuk lebih memahami mengenai selesaian dari SPLTV, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Menentukan Solusi SPLTV atau Bukan
Tentukan apakah tiga bilangan berurutan (1, –2, 3) merupakan selesaian dari SPLTV berikut atau bukan.

dan,

Pembahasan Substitusi 1 untuk x, –2 untuk y, dan 3 untuk z ke dalam SPLTV pertama.

Karena (1, –2, 3) tidak memenuhi salah satu persamaan pada SPLTV pertama, maka tiga bilangan berurutan tersebut bukan selesaian dari SPLTV tersebut. Selanjutnya kita gunakan substitusi yang sama pada SPLTV kedua.

Karena tiga bilangan berurutan (1, –2, 3) memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV kedua, maka tiga bilangan berurutan tersebut merupakan solusi dari SPLTV tersebut.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Selesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Grafik Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV)

Seperti kita ketahui, selesaian dari persamaan linear satu variabel (PLSV) berupa bilangan tunggal yang memenuhi persamaan tersebut. Misanya, untuk x – 5 = 1, selesaiannya adalah x = 6 dan grafiknya berupa titik tunggal pada garis bilangan, yang merupakan grafik satu dimensi. Sedangkan selesaian dari suatu persamaan linear dua variabel (PLDV), seperti 2x + y = 4, adalah pasangan-pasangan berurutan (x, y) yang memenuhi persamaan tersebut. Apabila kita menggambarkan semua selesaian dari PLDV tersebut, kita akan mendapatkan suatu garis lurus pada bidang koordinat-xy, yang merupakan grafik dua dimensi. Grafik dari selesaian PLSV dan PLDV di atas dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Bagaimana dengan selesaian dari persamaan linear tiga variabel (PLTV)? Selesaian dari PLTV, seperti x + y + z = 6, berupa tiga bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi persamaan tersebut. Jika semua selesaian dari PLTV tersebut digambar, kita akan mendapatkan bidang dalam suatu ruang, yang disebut grafik tiga dimensi. Bidang adalah permukaaan datar yang memiliki panjang dan lebar tak terhingga, tetapi tidak memiliki ketebalan. Kita dapat menggambar grafik dari PLTV dengan menentukan titik-titik potong grafik tersebut dengan sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z kemudian kita gambar suatu bidang yang melalui ketiga titik tersebut. Karena grafik x + y + z = 6 memotong sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z secara berturut-turut di titik-titik (6, 0, 0), (0, 6, 0), dan (0, 0, 6), maka grafik dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar (a) berikut.

Pada grafik di ruang 3 dimensi, bidang-xy sejajar dengan tanah (sumbu-y mengarah ke kanan) dan sumbu-z adalah sumbu tegak. Untuk menemukan sebarang titik yang dilalui oleh bidang x + y + z = 6, maka kita harus mencari tiga bilangan yang jumlahnya 6, seperti (2, 2, 2). Untuk menentukan posisi titik tersebut pada grafik tiga dimensi, dari titik (0, 0, 0) gerakkan 2 satuan sepanjang sumbu-x positif, kemudian lanjut 2 satuan ke arah yang sejajar dengan sumbu-y positif, dan gerakkan 2 satuan ke arah yang sejajar dengan sumbu-z positif, seperti yang ditunjukkan grafik (b) di atas. Untuk lebih memahami dalam menentukan titik-titik lainnya yang dilalui oleh bidang x + y + z = 6, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Menentukan Solusi-solusi dari Persamaan Linear Tiga Variabel
Gunakan metode guess-and-check untuk menentukan empat titik lain yang dilalui oleh bidang x + y + z = 6.
Pembahasan Kita dapat memulainya dengan memilih x = 0, kemudian menggunakan kombinasi dua bilangan y dan z sedemikian sehingga jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 6. Dua contohnya adalah titik-titik (0, 1, 5) dan (0, 4, 2). Kita juga dapat memilih sembarang dua bilangan x dan y, kemudian menentukan nilai z sedemikian sehingga jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 6. Dua contohnya adalah titik-titik (5, 2, –1) dan (–3, 7, 2).
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Grafik Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV)

Induksi Matematika

Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli
Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil.

Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v₀ anggota V sedemikian sehingga v₀ ≤ v untuk setiap v anggota V.
Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

Prinsip Induksi Matematika
Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:
(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan
(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N. Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?
Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan m adalah anggota terkecil dari N – S, maka m – 1 anggota S.
Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S, maka k + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa m bukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.
Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai berikut.
Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:

1. P(1) benar.
2. Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.

Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.
Hubungan Prinsip Induksi Matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N.
Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n + 5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untuk mendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.
Pada beberapa kasus, kadang P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan asli tertentu tetapi bernilai benar untuk n ≥ n₀. Prinsip Induksi Matematika dapat dimodifikasi untuk mengatasi kasus seperti itu.

Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)
Misalkan n₀ anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀. Apabila:
(1) Pernyataan P(n₀) benar;
(2) Untuk setiap k ≥ n₀, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n₀.

Berikut ini adalah beberapa contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli.
Contoh 1: Pengubinan dengan Tromino
Diberikan suatu papan catur 2ⁿ × 2ⁿ (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar)
Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 2¹ × 2¹ yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2^{k + 1} × 2^{k + 1} yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2^k × 2^k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

Contoh 2: Jumlah n Bilangan Asli Pertama
Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota N sedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka 1 = 1/2 ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsi Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Induksi Matematika