Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Selain dengan menggunakan metode grafik dan substitusi, permasalahan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi. Dengan menggunakan metode ini, kita harus mengeliminasi/menghilangkan salah satu variabel dengan cara penjumlahan ataupun pengurangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan himpunan selesaian dari SPLDV yang memuat persamaan-persamaan 2x + 5y = –3 dan 3x – 2y = 5.

Grafik dari kedua persamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk menentukan selesaiannya, pertama kita harus mengeliminasi salah satu variabelnya. Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut. Koefisien x pada persamaan 1 dan 2 secara berturut-turut adalah 2 dan 3. Sehingga kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut menjadi KPK dari 2 dan 3, yaitu 6, dengan mengalikan persamaan 1 dengan 3 dan persamaan 2 dengan 2.

Dengan cara yang sama, kita dapat mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai dari x.

Sehingga diperoleh selesaiannya adalah x = 1 dan y = –1, atau dapat dituliskan sebagai himpunan selesaian Hp = {(1, –1)}.
Menyelesaikan SPLDV dengan Menggunakan Metode Campuran
Metode eliminasi juga dapat dipadukan dengan metode substitusi dalam menyelesaikan suatu permasalahan SPLDV. Perhatikan contoh berikut.

Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang.

Misalkan umur ayah dan anak perempuannya secara berturut-turut adalah m dan n, maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

Grafik dari persamaan-persamaan m – n = 26 dan m + n = 44 dapat digambarkan seperti berikut.

Pertama, kita akan mengeliminasi variabel n untuk mendapatkan nilai dari m dengan menjumlahkan persamaan 1 dengan persamaan 2.

Selanjutnya kita substitusikan m = 35 ke salah satu persamaan, misalkan ke persamaan 1. Sehingga diperoleh,

Jadi, umur ayah dan anak perempuannya saat ini secara berturut-turut adalah 35 tahun dan 9 tahun.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu metode untuk menentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Untuk menentukan selesaian tersebut, kita harus menyatakan suatu variabel ke dalam variabel lain, kemudian nilai dari variabel tersebut disubstitusi ke variabel yang sama pada persamaan lainnya. Pada dasarnya, langkah-langkah dalam menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.

1. Modelkan permasalahan ke dalam kalimat matematika yang berupa persamaan 1 dan persamaan 2.
2. Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabelnya ke dalam bentuk variabel lainnya.
3. Substitusikan variabel pada langkah kedua ke persamaan lainnya, sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel.
4. Tentukan nilai dari variabel lainnya dengan mensubstitusi nilai yang diperoleh pada langkah 3 ke langkah 2.
5. Tentukan selesaian dari SPLDV tersebut, dan jawablah pertanyaan yang diberikan soal.

Untuk lebih memahami dalam menyelesaikan permasalahan SPLDV dengan metode substitusi, perhatikan contoh berikut.

Selisih uang Samuel dan Andini adalah Rp 3.000,00. Jika 2 kali uang Samuel ditambah dengan 3 kali uang Andini adalah Rp 66.000,00. Tentukanlah besarnya uang masing-masing.

Langkah pertama, kita modelkan informasi yang ada di soal menjadi persamaan-persamaan matematika. Misalkan s dan a secara berturut-turut merupakan banyaknya uang Samuel dan Andini. Karena selisih uang Samuel dan Andini adalah Rp 3.000,00, maka kalimat tersebut dapat diubah menjadi persamaan sebagai berikut.

Selain itu, jumlah dari dua kali uang Samuel dan tiga kali uang Andini adalah Rp 66.000,00, maka

Sehingga, pada langkah pertama ini kita menghasilkan persamaan 1 dan 2 yang masing-masing dinyatakan dalam variabel s dan a.
Langkah kedua, kita akan menyatakan variabel s pada persamaan 1 ke dalam variabel a.

Langkah ketiga, substitusikan persamaan 3 ke dalam persamaan 2 untuk mendapatkan nilai dari a.

Langkah keempat, tentukan nilai variabel s dengan mensubstitusi nilai a yang diperoleh ke dalam persamaan 3.

Langkah kelima, tentukan selesaian dari SPLDV yang diberikan dan jawablah pertanyaan yang diberikan soal. Dari langkah 4 dan 5, kita memperoleh selesaian dari SPLDV tersebut adalah s = 15.000 dan a = 12.000. Sehingga, banyaknya uang Samuel adalah Rp 15.000,00 dan banyaknya uang Andini adalah Rp 12.000,00.

Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. Tetapi, sebelum itu kita harus tahu bentuk grafik dari persamaan linear dua variabel. Bagaimana bentuk grafik dari persamaan linear dua variabel?

Grafik dari persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Lalu bagaimana cara menggunakan grafik persamaan linear untuk menyelesaikan permasalahan SPLDV? Pada dasarnya, terdapat 4 langkah dalam menyelesaiakan permasalahan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. Keempat langkah tersebut adalah,
Langkah 1: Memodelkan informasi yang ada di soal.
Langkah 2: Menentukan dua titik yang dilalui grafik persamaan-persamaan pada SPLDV.
Langkah 3: Menggambar grafik persamaan-persamaan tersebut.
Langkah 4: Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.
Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.

Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual.

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear. Misalkan banyak karcis I dan II yang terjual secara berturut-turut adalah x dan y, maka kalimat “Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar,” dapat dimodelkan menjadi,

Sedangkan kalimat, “Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00,” dapat dimodelkan menjadi,

Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 500).

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406 1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).
Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500, serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000.

Dari grafik di atas diperoleh bahwa titik potong grafik x + y = 500 dan 8.000x + 6.000y = 3.250.000 adalah (125, 375). Sehingga selesaian dari SPLDV di atas adalah x = 125 dan y = 375.
Langkah keempat, kita gunakan selesaian di atas untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita. Karena x dan y secara berturut-turut menyatakan banyak karcis I dan II yang terjual, maka banyaknya karcis kelas I yang terjual adalah 125 lembar dan 375 lembar untuk karcil kelas II.
Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel, atau sering disingkat sebagai SPLDV, seringkali digunakan untuk memecahkan permasalahan di sekitar kita. Sebelum kita mempelajari SPLDV, sebaiknya kita kenal dulu persamaan linear dua variabel. Perhatikan permasalahan berikut.

Anggita akan berencana membeli pensil dan bolpoin di suatu toko alat tulis. Ia berencana akan membeli total sebanyak 5 buah alat tulis. Berapa banyaknya masing-masing pensil dan bolpoin yang mungkin dibeli oleh Anggita?

Untuk mendaftar semua kemungkinannya, kita dapat menggunakan tabel seperti berikut.

Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut.

dengan p dan b secara berturut-turut merupakan banyaknya pensil dan bolpoin yang akan dibeli oleh Anggita.
Karena banyakanya pensil ditambah banyaknya bolpoin adalah 5 buah, maka banyaknya pensil sama dengan 5 dikurangi banyaknya bolpoin dan demikian juga banyaknya bolpoin sama dengan 5 dikurangi dengan banyaknya pensil. Atau dengan kata lain, persamaan p + b = 5 dapat juga dituliskan menjadi bentuk persamaan berikut.

Berikut ini beberapa contoh bentuk persamaan linear dua variabel lannya.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Setelah mengenal persamaan linear dua variabel, selanjutnya kita lanjutkan pembahasan kita ke SPLDV. Perhatikan permasalahan berikut.

Pergi ke Kantin
Pada saat jam istirahat sekolah, Ana dan Andika bersama-sama pergi ke kantin sekolah. Ana membeli 3 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00. Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00. Berapakah harga masing-masing pisang goreng dan donat per buahnya?

Misalkan x dan y secara berturut-turut merupakan harga satuan pisang goreng dan donat yang telah dibeli di kantin sekolah tersebut. Karena Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00, maka kalimat tersebut dapat dimodelkan ke dalam persamaan,

Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00, maka kalimat tersebut dapat dituliskan ke dalam persamaan,

Persamaan-persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 merupakan persamaan-persamaan yang berhubungan, karena kedua persamaan tersebut memiliki 2 variabel yang sama. Mudahnya, kedua persamaan tersebut dimodelkan dari transaksi Ana dan Andika ketika mereka berdua membeli dua makanan yang sama di kantin yang juga sama. Sehingga, transaksi yang dilakukan oleh Ana akan sesuai dengan transaksi yang dilakukan oleh Andika. Artinya, transaksi mereka berdua dipengaruhi oleh harga satuan pisang goreng dan donat pada kantin tersebut. Sehingga, kedua persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 disebut sebagai suatu sistem. Karena sistem tersebut terdiri dari persamaan-persamaan linear dua variabel, maka sistem tersebut disebut sistem persamaan linear dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Selanjutnya, dapatkah kita menentukan harga masing-masing pisang goreng dan donat yang telah dibeli oleh Ana dan Andika? Perhatikan bahwa banyaknya donat yang mereka beli adalah sama, yaitu 2 buah. Sedangkan banyaknya pisang goreng yang dibeli oleh Ana lebih sedikit 1 buah daripada yang dibeli oleh Andika. Karena Andika mengeluarkan uang Rp 4.000,00 untuk membeli semua makanan ringannya, sedangkan Ana mengeluarkan Rp 500,00 lebih sedikit daripada Andika, maka dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa harga pisang gorengnya adalah Rp 500,00 tiap buahnya.
Apabila harga pisang goreng tiap buahnya adalah Rp 500,00, maka selanjutnya kita dapat menentukan harga 1 buah donat dengan menggunakan transaksi Ana atau Andika. Kali ini kita akan menggunakan transaksi Ana untuk menentukan harga 1 donat.

Sehingga diperoleh harga satu donat adalah Rp 1.000,00. Apakah jawaban ini benar? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengujinya ke dalam permasalahan.
Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 3 × 500 + 2 × 1.000 = 1.500 + 2.000 = 3.500. Untuk kasus Ana, harga pisang goreng dan donat memenuhi. Selanjutnya kita uji juga ke dalam kasusnya Andika. Andika membeli 4 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 4 × 500 + 2 × 1.000 = 2.000 + 2.000 = 4.000. Harga satuan pisang goreng dan donat yang telah kita cari ternyata memenuhi kedua persamaan yang diberikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa x = 500 dan y = 1.000 merupakan selesaian dari SPLDV tersebut.
Catatan Selesaian dari SPLDV merupakan nilai dua variabel yang memenuhi kedua persamaan yang terdapat dalam SPLDV tersebut. Apabila nilai dua variabel tersebut hanya memenuhi salah satu persamaan saja, atau bahkan tidak memenuhi keduanya, maka nilai variabel-variabel tersebut bukanlah selesaian dari SPLDV tersebut.
Sebagai ilustrasi, x = 1.000 dan y = 250 memenuhi persamaan 3x + 2y = 3.500. Akan tetapi nilai tersebut tidak memenuhi persamaan kedua karena 4 × 1.000 + 2 × 250 = 4.500 ≠ 4.000. Sehingga x = 1.000 dan y = 250 bukan selesaian dari SPLDV yang terdiri dari persamaan-persamaan 3x + 2y = 3.500 dan 4x + 2y = 3.500.
Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Jarak Titik dan Garis

Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus.
Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis
Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.

Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.
Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x₂,  terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y₂).

Setelah koordinat (x₂, y₂) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Agar lebih sederhana, kita tentukan x₂ – x₁ dan y₂ – y₁ terlebih dahulu, yaitu

dan,

Sehingga jarak antara titik (x₂, y₂) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut.

Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah

Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.

Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus
Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0.
Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.

Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang. Semoga bermanfaat.

->BACA SELENGKAPNYA- - Jarak Titik dan Garis

Persegi yang Hilang

Pada pembahasan terdahulu, kita telah menyelesaikan permasalahan “missing square,” yaitu permasalahan tentang segitiga, segi empat, dan gradien garis. Berikut ini contoh lain dari permasalahan “missing square.”

Apakah kamu dapat menjawab pertanyaan pada gambar tersebut, “Ke manakah persegi ungu?” Sebelum menjawabnya, jawablah pertanyaan berikut: Berbentuk apakah bangun datar yang dibentuk oleh bangun datar-bangun datar yang berwarna orange, kuning, hijau, biru, dan ungu? Mungkin kita menduga bahwa bangun datar tersebut adalah persegi. Akan tetapi pada kenyataannya bangun datar tersebut bukan persegi, melainkan bangun datar segi-8. Mengapa demikian?
Sekarang coba perhatikan sisi miring dari segitiga-segitiga yang berwarna orange dan kuning dengan cermat. Apakah kemiringan dari sisi miring segitiga-segitiga tersebut sama? Segitiga orange memiliki sisi miring yang bergradien 5/2 sedangkan segitiga kuning sisi miringnya memiliki gradien 8/3. Apa artinya ini?
Sisi miring dari segitiga-segitiga orange dan kuning merupakan sisi-sisi dari bangun datar besar, sehingga bangun datar besar tersebut merupakan segi-8. Segi-8 merupakan bangun datar yang memiliki 8 sisi dan masing-masing sisi berdekatannya memiliki kemiringan/gradien yang berbeda.
Jadi masalahanya bukan kemana persegi ungu menghilang, akan tetapi berbentuk apakah bangun datar besar tersebut. Perhatikan gambar awal dan akhir dari bangun datar besar berikut.

Bangun datar pertama merupakan segi-8 dengan sisi-sisinya cembung, sedangkan bangun datar kedua merupakan segi-8 yang sisi-sisinya cekung. Sehingga, dengan mudah kita dapat meyimpulkan bahwa segi-8 pertama memiliki luas yang lebih besar daripada segi-8 kedua. Berapakah selisih luas kedua segi-8 tersebut? Selisih luas dari kedua segi-8 tersebut adalah sebesar luas dari persegi ungu yang “hilang.” Semoga bermanfaat, AhmadRasiyidiin .

->BACA SELENGKAPNYA- - Persegi yang Hilang