Membandingkan Pecahan dengan Game

Materi pecahan sering menjadi momok bagi sebagian besar siswa SD ataupun SMP. Untuk itu, mari kita pelajari pecahan dengan cara yang lebih manis, yaitu dengan game “Pesta Cokelat Maksimal”. Pada game ini kita akan belajar untuk membagi cokelat. Selain itu kita juga akan berlatih membandingkan dan mengurutkan bagian-bagian cokelat, yang digunakan sebagai konteks dari pecahan.

Aturan Game
Pada game ini membutuhkan 3 buah meja dan 6 buah cokelat. Satu, dua, dan tiga buah cokelat, yang memiliki kesamaan dalam ukuran dan rasa, secara berturut-turut diletakkan pada meja pertama, kedua, dan ketiga. Setiap tamu yang datang memilih satu dari ketiga meja tersebut kemudian duduk mengelilingi meja tersebut. Aturan dari game ini menyatakan bahwa jika semua tamu telah duduk, cokelat yang ada pada meja tersebut dibagi sama rata kepada seluruh tamu yang mengelilingi meja tersebut. Untuk tujuan dalam game ini, kita anggap bahwa semua pemain menginginkan bagian cokelat yang semaksimal mungkin, dan semua tamu yang memilih meja menganggap dirinya sebagai tamu yang terakhir.

Dan Game-pun Dilakukan
Ketika memainkan game ini, tempatkan lembar kerja di setiap meja. Lembar kerja tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Semua partisipan game ini berdiri agak jauh dari meja, akan tetapi mereka juga harus jelas untuk melihat cokelat yang ada di atas meja dan semua tamu yang telah duduk mengelilingi meja tersebut. Semua partisipan juga harus memiliki copy-an dari lembar kerja di atas. Setelah setiap tamu baru yang duduk, semua partisipan (termasuk mereka yang telah duduk) harus memikirkan di mana tamu selanjutnya seharusnya duduk. Adalah hal yang penting untuk menanyakan kepada setiap tamu baru, mengapa dia memilih meja tertentu. Semua partisipan lainnya mendengarkan dengan cermat pendapat dari tamu baru tersebut untuk mendiskusikannya, apakah pendapat tamu baru tersebut benar atau salah.
Diskusi Langkah Demi Langkah Selama Game Berlangsung
Perhatikan tabel di bawah dan ikuti penjelasannya.

Karena semua kotak cokelat pada masing-masing meja memiliki ukuran yang sama, maka kita gunakan kata “bagian” sebagai satuan dalam keseluruhan pembahasan ini. Tamu yang datang pertama kali akan memilih meja ke-3. Mengapa? Karena saat pertama kali datang, banyaknya cokelat pada meja pertama paling banyak di antara meja-meja yang lain. Tamu kedua akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 2 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 bagian pada meja ke-3, karena 3 bagian pada meja ini akan dibagi kepada tamu sebelumnya. Sehingga tamu ke-2 akan memilih meja yang ke-2. Tamu ke-3 akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 1 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 pada meja ke-3. Sehingga tamu ke-3 akan memilih meja ke-3.
Tamu 4, 5, dan 6
Tamu ke-4 dapat memilih sembarang meja, karena ada 1 bagian cokelat yang menunggunya pada masing-masing meja. Misalkan tamu ke-4 memilih meja yang pertama. Maka tamu ke-5 dan 6 secara berturut-turut bisa memilih meja yang ke-3 dan 2. Bagaimana jika tamu ke-4 memilih meja yang berbeda? Maka tamu ke-5 dan ke-6 memilih meja yang berbeda pula. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, apapun urutan meja yang dipilih oleh tamu ke-4, 5, dan 6 tidak akan mengubah bagian cokelat yang akan diterima oleh tamu ke-7, pada masing-masing meja.
Tamu Ke-7
Keputusan meja mana yang akan dipilih oleh tamu ke-7 patut mendapat perhatian yang berbeda. Tamu ke-7 akan mendapat pilihan 1/2 bagian pada meja pertama, 2/3 bagian pada meja ke-2, dan 3/4 bagian pada meja ke-3. Manakah yang paling besar: 1/2, 2/3, ataukah 3/4? Kita dapat menganggap setiap pecahan tersebut sebagai “pecahan yang kurang dari keseluruhan.” Bagaimanapun, ketiga pecahan tersebut berbeda: 1/2 sama dengan 1/2 kurangnya dari keseluruhan, 2/3 sama dengan 1/3 kurangnya dari keseluruhan, dan 3/4 sama dengan 1/4 kurangnya dari keseluruhan. Maka, kita dapat membandingkan unit-unit pecahan 1/2, 1/3, dan 1/4 terlebih dahulu. Yang dimaksud unit pecahan di sini adalah pecahan yang memiliki pembilang sama dengan 1.
Bayangkan 3 kotak cokelat yang memiliki ukuran/besar sama. Satu kotak dibagi menjadi 2 bagian yang sama, satu kotak dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan satu kotak dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Bagian manakah yang terkecil, bagian manakah yang terbesar?

Semakin banyak kita membagi cokelat, maka semakin kecil bagian cokelat yang kita dapat. Atau secara informal, kita dapat mengatakan: “Semakin banyak teman semakin bagus, akan tetapi tidak demikian apabila kita ingin membagikan cokelat.” Sehingga, 1/2 > 1/3 > 1/4. Secara matematis, kita dapat menyatakan bahwa: Beberapa unit pecahan dapat dibandingkan dengan membandingkan penyebutnya–semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut.
Bayangkan 3 kotak cokelat yang sama. Satu kotak cokelat pertama dipotong 1/2 bagian, satu kotak cokelat pertama dipotong 1/3 bagian, dan satu kotak cokelat lainnya dipotong 1/4 bagian. Dari ketiga kotak cokelat tersebut, kotak cokelat manakah yang memiliki bagian sisa yang paling besar? Jawaban dari pertanyaan ini sama dengan jawaban dari pertanyaan, “Cokelat manakah yang dipotong paling kecil?” Sehingga, 3/4 > 2/3 > 1/2. Ini berarti bahwa, tamu ke-7 harus memilih meja yang ke-3.
Tamu 8 sampai 12
Tamu ke-8 akan membandingkan 2/3 dan 3/5, karena kedua pecahan tersebut lebih besar dari 1/2. Tetapi, seberapa lebih besarkah? Untuk membandingkannya, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa 2/3 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/3. Sedangkan 3/5 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/5. Padahal 1/5 kurang dari 1/3. Sehingga, setengahnya 1/5 kurang dari setengahnya 1/3. Hal ini menyebabkan 3/5 kurang dari 2/3. Sehingga, tamu ke-8 seharusnya memilih meja yang ke-2. Selanjutnya, tamu ke-9 pergi ke meja ke-3.
Tamu ke-10 dapat memilih meja manapun, karena dia akan mendapatkan bagian yang sama, yaitu 1/2 bagian dari kotak cokelat. Akan tetapi, pada meja ke-2 bagian yang akan diterima direpresentasikan dengan 2/4, sedangkan pada meja ke-3 direpresentasikan dengan 3/6. Sehingga, kita dapat mengatakan bahwa 1/2 = 2/4 = 3/6. Ketiga pecahan tersebut merupakan pecahan yang senilai. Apa itu pecahan senilai?

Pecahan senilai dari pecahan tertentu dapat diperoleh dengan mengalikan pecahan tertentu tersebut dengan suatu bilangan. Atau dapat disimbolkan, a/b = p/q, apabila p = k × a dan q = k × b, untuk a, b, p, q, dan k merupakan bilangan asli.

Misalkan tamu ke-10 memilih meja pertama dan tamu ke-11 memilih meja ke-3. Maka tamu ke-12 akan memilih meja ke-2.
Tamu 13
Meja manakah yang seharusnya dipilih oleh tamu ke-12? Mari kita mulai dengan membandingkan 1/3 dan 2/5. Dengan menggunakan pecahan senilai, kita dapatkan 1/3 = 2/6. Sebelumnya, kita telah mendapatkan, untuk unit-unit pecahan, semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut. Sehingga, 1/5 lebih besar dari 1/6. Sehingga pertidaksamaan itu juga berlaku bagi dua kali dari masing-masing unit pecahan tersebut. Diperoleh, 2/5 > 2/6. Sehingga aturan ini tidak hanya berlaku pada unit-unit pecahan, tetapi juga berlaku pada setiap pecahan yang memiliki pembilang sama. (Bayangkan untuk menempatkan beberapa beban yang banyaknya sama pada sisi kanan dan kiri suatu timbangan. Semua beban di sisi kiri memiliki berat yang sama, dan semua beban di sebelah kanan memiliki berat yang sama. Akan tetapi setiap beban pada sisi kiri lebih ringan daripada setiap beban di sebelah kanan. Beban manakah yang lebih ringan, semua beban di sebelah kiri atau kanan?)
Sekarang kita akan membandingkan 2/5 dan 3/7. Untuk membandingkan kedua pecahan ini, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut kita dapat melihat bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Sedangkan 3/7 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/7. Karena 1/5 lebih besar dari 1/7, maka 2/5 terletak di sebelah kiri 1/2 lebih jauh daripada 3/7. Hal ini menunjukkan bahwa, 2/5 < 3/7, dan tamu ke-13 seharusnya pergi ke meja 3.
Dan Tamu-tamu Selanjutnya
Tamu yang ke-14 mungkin mengatakan bahwa telah ditunjukkan 1/3 = 2/6 < 2/5. Dengan menggunakan penalaran ini, 1/3 = 3/9 < 3/8. Sehingga kita perlu membandingkan 2/5 dan 3/8. Sebelumnya kita telah mendapatkan bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Atau dengan kata lain, 2/5 kurang dari 1/2 sebesar 1/10. Atau,

Di sisi lain, 1/2 = 4/8 dan 3/8 sama dengan 1/8 kurangnya dari 1/2, atau

Lagi, seperti kasusnya tamu ke-7, kita mengurangkan pecahan yang sama, tetapi 1/10 lebih kecil dari 1/8. Sehingga, 2/5 lebih besar dari 3/8, dan meja ke-2 harus dipilih oleh tamu ke-14. Selanjutnya, tamu ke-15 harus memilih meja ke-3. Tamu ke-16 mendapatkankan bagian yang sama di setiap meja.
Setelah tamu ke-16 tersebut, kita dapat menghentikan permainan ini. Walaupun secara teoritis, permainan ini dapat diteruskan sampai tamu yang tak terbatas. Semoga bermanfaat,AhmadRasiyidiin .

->BACA SELENGKAPNYA- - Membandingkan Pecahan dengan Game

Menentukan FPB dan KPK Menggunakan Excel

Sebelum pada pembahasan ini, kita telah berlatih untuk menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil ( KPK) dengan menggunakan tiga cara, yaitu dengan cara mendaftar, faktorisasi prima, dan cara sengkedan. Sekarang kita akan berlatih menentukan FPB dan KPK dengan menggunakan Microsoft Excel. Bagaimana caranya?
FPB atau yang dalam bahasa Inggris greatest common divisor (GCD), dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi GCD. Fungsi ini dapat kita temukan pada kelompok tab FORMULAS Microsoft Excel, dan pada bagian Function Library pilih Math & Trig. Pada submenu Math & Trig ini, kita arahkan mouse ke bawah dan kita akan menemukan fungsi GCD, seperti yang ditunjukkan gambar berikut.

Jika kita memilih fungsi GCD tersebut, akan tampil jendela Function Arguments sebagai berikut.

Pada jendela Function Arguments tersebut terdapat kotak teks Number1 dan Number2. Kotak teks tersebut sebagai tempat mengisi bilangan-bilangan yang akan kita tentukan FPB-nya. Apabila kita akan menentukan FPB dari 24 dan 36, kita isi kotak teks Number1 dengan 24 dan Number2 dengan 36, atau sebaliknya. Kotak teks tersebut akan bertambah secara otomatis apabila kita sudah mengisi 2 bilangan. Sehingga kita juga dapat menentukan FPB dari 3 bilangan. Apabila kita ingin menentukan FPB dari 3 bilangan, yaitu 24, 36, dan 42, kita cukup menuliskan bilangan-bilangan tersebut pada kotak teks Number1, Number2, dan Number3.
Setelah kita mengisi kotak-kotak teks tersebut, selanjutnya klik tombol OK. Maka FPB dari ketiga bilangan di atas akan dituliskan pada sel tertentu, seperti pada gambar berikut.

Sekarang perhatikan formula bar pada gambar di atas. Pada formula bar tersebut, tertulis =GCD(24,36,42). Sehingga, kita juga dapat menuliskan fungsi =GCD(number1, number2, …) pada sel untuk menentukan FPB dari beberapa bilangan tertentu. Number1, number2, … dapat diganti dengan bilangan-bilangan tertentu, yang akan kita tentukan FPB-nya. Banyaknya bilangan boleh lebih dari 2 dan masing-masing bilangan dipisahkan dengan tanda koma.

Bagaimana dengan menentukan KPK? Untuk menentukan KPK, langkahnya hampir sama dengan menentukan FPB. Akan tetapi fungsi untuk menentukan KPK adalah =LCM(number1, number2, …). Sehingga, apabila kita ingin menentukan KPK dari 12, 16, dan 20, maka kita dapat menuliskan =LCM(12,16,20) pada sel tertentu.





Semoga bermanfaat, AhmadRasiyidiin.

->BACA SELENGKAPNYA- - Menentukan FPB dan KPK Menggunakan Excel

Kelipatan, Kelipatan Persekutuan, dan KPK

Mika dan Miko bersama-sama terdaftar sebagai siswa di suatu lembaga bimbingan belajar. Dalam lembaga bimbingan belajar tersebut, Mika memiliki jadwal untuk les matematika tiap 2 hari sekali, sedangkan Miko tiap 3 hari sekali. Apabila hari ini mereka bertemu dalam les matematika, berapa hari lagi mereka akan bertemu di les matematika berikutnya?
Untuk mengetahui kapan Mika dan Miko akan bertemu pada les matematika berikutnya, kita modelkan jadwal les mereka berdua sebagai berikut.

Dari tabel tersebut, kita dapat melihat bahwa Mika akan les pada 2, 4, 6, 8, 10, dan 12 hari berikutnya. Sedangkan Miko akan les pada 3, 6, 9, dan 12 hari berikutnya. Dari contoh ini kita dapat menyebut bahwa 2, 4, 6, 8, dan 10 merupakan kelipatan-kelipatan dari 2, sedangkan 3, 6, 9, dan 12 merupakan kelipatan-kelipatan dari 3. Jadi apakah yang dimaksud dengan kelipatan?

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli.

Dari tabel di atas, kita juga dapat melihat bahwa Mika dan Miko akan bertemu les matematika pada hari ke-6 dan ke-12. Bilangan-bilangan 6 dan 12 ini merupakan kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari suatu bilangan yang sama dengan kelipatan bilangan lainnya.

Dapatkah kamu menyebutkan kelipatan-kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 selain 6 dan 12? Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 selain 6 dan 12 di antaranya adalah 18, 24, dan 30. Dari sini kita dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 jumlahnya sangat banyak sekali. Akan tetapi dari kelipatan-kelipatan persekutuan tersebut ada yang terkecil, yaitu 6. Bilangan 6 ini selanjutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 2 dan 3.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari beberapa bilangan adalah bilangan kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut yang paling kecil.

Setelah kita mengenal kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK, sekarang kita akan berlatih untuk menemukan KPK dari dua bilangan atau lebih. Seperti dalam menemukan FPB, KPK dapat ditentukan dengan cara mendaftar, faktorisasi prima, dan cara sengkedan.
Menentukan KPK dengan Cara Mendaftar
Misalkan kita akan menentukan KPK dari 12 dan 18. Untuk menentukan KPK-nya, kita dapat mendaftar beberapa kelipatan dari kedua bilangan tersebut dalam tabel seperti berikut.

Dari tabel tersebut kita mendapatkan bahwa kelipatan dari 12 dan 18 di antaranya adalah 36, 72, dan 108. Sehingga, KPK dari 12 dan 18 adalah 36.
Menentukan KPK dengan Fakorisasi Prima
Sebelumnya kita telah menentukan KPK dari 12 dan 18 dengan menggunakan cara mendaftar. Sekarang kita akan menentukan KPK dari kedua bilangan tersebut dengan faktorisasi prima. Untuk menentukan faktorisasi prima dari 12 dan 18, kita dapat menggunakan pohon faktor.

Sehingga,
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
Setelah mengubah 12 dan 18 dalam bentuk faktorisasi primanya, selanjutnya kita akan tentukan KPK dari kedua bilangan tersebut. Bagaimana cara menentukan KPK dari beberapa bilangan apabila faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut diketahui?

KPK dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut dan dipilih pangkat yang paling tinggi.

Perhatikan bahwa 12 sama dengan 2 pangkat 2 dikali 3. Sedangkan 18 sama dengan 2 kali 3 pangkat 2. Sehingga semua faktor prima dari kedua bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Pangkat tertinggi dari 2 adalah 2 dan pangkat tertinggi dari 3 adalah 2. Sehingga KPK dari 12 dan 18 adalah 2² × 3² = 36.
Menentukan KPK dengan Cara Sengkedan
Pada dua contoh sebelumnya, kita telah mencari KPK dari 2 bilangan. Kali ini kita akan mencoba untuk menentukan KPK dari 3 bilangan, yaitu 1.575, 2.625, dan 6.615. Untuk menentukan KPK dari tiga bilangan tersebut dengan cara sengkedan, perhatikan gambar berikut.

Aturan dalam cara sengkedan untuk menentukan KPK hampir sama dengan menentukan FPB. Apabila FPB dari beberapa bilangan merupakan perkalian dari bilangan prima pembagi yang dilingkari, untuk menentukan KPK kita harus mengalikan semua bilangan prima pembagi tersebut. Sehingga KPK dari 1.575, 2.625, dan 6.615 adalah 3³ × 5³ × 7² = 165.375.
Dari pembahasan di atas, kita telah mengenal kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK. Selain itu kita juga berlatih untuk menentukan KPK dengan 3 cara, yaitu cara mendaftar, faktorisasi prima, dan cara sengkedan. Ketiga cara ini dapat dipilih salah satu untuk menentukan KPK dari beberapa bilangan. Semoga bermanfaat,AhmadRasiyidiin

->BACA SELENGKAPNYA- - Kelipatan, Kelipatan Persekutuan, dan KPK

Pengurangan Pecahan

Dalam suatu upacara bendera, Dewi, Cecil, dan Rahma berada dalam satu barisan. Dewi berada paling depan, Cecil 1/4 dam di belakang Dewi, sedangkan Rahma berada 3/4 dam di belakang Dewi. Dapatkah kita menentukan jarak Cecil dengan Rahma? Untuk menjawabnya, pertama-tama perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat memperoleh bahwa jarak antara Cecil dengan Rahma adalah 2 bagian dari 4 dekameter. Atau dengan kata lain, tiga perempat dikurangi seperempat sama dengan dua perempat. Pernyataan tersebut apabila dituliskan dalam bentuk pecahan akan menjadi seperti berikut.

Apabila kita perhatikan, operasi pengurangan pada pecahan memiliki aturan yang sama dengan operasi penjumlahan, yaitu pembilang dikurangi dengan pembilang, sedangkan penyebutnya tetap. Operasi pengurangan di atas dapat kita lengkapi sebagai berikut.

Bagaimana dengan operasi pengurangan pada pecahan-pecahan yang memiliki penyebut yang berbeda? Ya, seperti pada operasi penjumlahan, kita harus menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut menjadi KPK-nya sebelum melakukan operasi pengurangan. Perhatikan beberapa contoh berikut!

Pengurangan pecahan di atas dapat dimodelkan oleh gambar berikut.

Dari uraian di atas, apakah kamu sudah memahami operasi pengurangan pada pecahan? Okay, kalau sudah, sekarang waktunya untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
Pemecahan Masalah
Perhatikan garis bilangan berikut!

Dengan menggeser garis bilangan tersebut ke kiri atau ke kanan, tentukan hasil dari 3/4 – 1/2!
Pembahasan dari pemecahan masalah di atas dapat dilihat pada halaman arsip soal. Semoga bermanfaat,AhmadRasiyidin .

->BACA SELENGKAPNYA- - Pengurangan Pecahan

Penjumlahan Pecahan

Di suatu waktu, Andi sedang mengisi bak mandi. Setelah berhasil mengisi tiga perlima bagian dari bak mandi tersebut, dia dipanggil Ibunya. Kemudian pekerjaannya tersebut dilanjutkan oleh adiknya, Amir. Amir berhasil mengisi air seperlima bagian, sebelum dia berhenti untuk beristirahat. Apakah Andi dan Amir sudah mengisi penuh bak mandi tersebut? Untuk menjawab permasalahan tersebut, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa ternyata Andi dan Amir belum mengisi bak mandi tersebut sampai penuh. Mereka berdua masih mengisi empat perlima dari bak mandi terebut.
Dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa tiga perlima bagian ditambah seperlima bagian sama dengan empat perlima. Atau dapat dituliskan 3/5 + 1/5 = 4/5. Ternyata, kita menggunakan operasi penjumlahan pecahan untuk menentukan berapa bagian bak mandi yang telah diisi oleh Andi dan Amir. Mari kita tulis kembali operasi penjumlahan kedua pecahan tersebut.

Apa yang dapat kalian amati dari penjumlahan dua pecahan di atas? Bagaimana dengan penyebut-penyebutnya? Bagaimana dengan pembilang-pembilangnya?
Pecahan-pecahan yang dijumlahkan memiliki penyebut yang sama, dan menghasilkan pecahan dengan penyebut yang juga sama, yaitu 5. Selanjutnya, kita perhatikan pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan dan pecahan hasil penjumlahan. Pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan adalah 3 dan 1. Sedangkan pembilang dari pecahan hasil penjumlahan adalah 4. Apa hubungan antara 3, 1, dan 4? Ya, 3 + 1 = 4.
Dari penjelasan sebelumnya, apa yang dapat kita simpulkan mengenai operasi penjumlahan pada pecahan-pecahan dengan penyebut sama?

Penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut sama menghasilkan suatu pecahan yang pembilangnya merupakan hasil jumlah pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan, sedangkan penyebutnya tetap.

Untuk lebih memahami mengenai penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang sama, perhatikan beberapa contoh berikut!

Penjelasan sebelumnya menerangkan tentang penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang sama. Bagaimana dengan penjumlahan yang melibatkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama?
Penjumlahan Pecahan Berpenyebut Tidak Sama
Untuk menentukan penjumlahan pecahan-pecahan yang memiliki penyebut tidak sama, perhatikan gambar berikut!

Gambar paling kiri menunjukkan pecahan 2/3, gambar tengah menunjukkan pecahan 1/4, sedangkan gambar paling kanan menunjukkan pecahan hasil penjumlahan 2/3 dan 1/4. Pecahan berapakah, tepatnya, yang ditunjukkan oleh gambar paling kanan? Apabila kita melihat gambar di atas, mungkin kita sulit mengidentifikasinya. Sekarang kita bagi lagi daerah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian yang sama besar, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Dari gambar di atas, dapat ditunjukkan bahwa pecahan 2/3 senilai dengan 8/12 (gambar paling kiri) dan pecahan 1/4 senilai dengan 3/12 (gambar tengah). Dari gambar di atas, juga dapat dilihat bahwa jumlah dari 2/3 dan 1/4 adalah 11/12. Apa yang dapat kita peroleh dari ilustrasi tersebut?

Untuk menjumlahkan pecahan-pecahan yang memiliki penyebut berbeda, kita harus menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut dengan KPK-nya.

Penjumlahan dari pecahan 2/3 dan 1/4 dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk lebih memahami mengenai penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang berbeda, perhatikan beberapa contoh berikut!

Semoga bermanfaat, Ahmad Rasiyidin.

->BACA SELENGKAPNYA- - Penjumlahan Pecahan

Mengurutkan Pecahan

Apabila kita diberikan dua pecahan, misalkan 2/3 dan 8/11, apakah kamu dapat membandingkan kedua pecahan tersebut? Pecahan mana yang lebih besar? Sebelumnya, mari kita selesaikan permasalah tersebut dengan sebuah perumpamaan. Dua pertiga sama dengan dua bagian roti apabila kita membaginya menjadi 3 bagian yang sama besar. Demikian juga dengan 8/11 sama dengan 8 bagian roti apabila kita membaginya menjadi 11 bagian yang sama besar. Perhatikan gambar yang merepresentasikan kedua pecahan tersebut.

Dengan bantuan gambar di atas, kita dapat melihat dengan mudah bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3, atau dapat dituliskan 8/11 > 2/3. Sekarang mari kita lihat posisi kedua pecahan tersebut pada garis bilangan.

Dari garis bilangan tersebut, kita dapat memperoleh bahwa 8/11 berada di kanan 2/3. Hal ini merupakan bukti lain bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3. Selain dengan menggunakan gambar dan garis bilangan, apakah ada cara lain untuk membandingkan dua pecahan?
Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Penyebut
Membandingkan pecahan dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. Penyebut dari pecahan-pecahan yang belum sama, dapat disamakan dengan menggantinya dengan faktor persekutuan penyebut pecahan-pecahan tersebut.
Misalkan kita akan membandingkan dua pecahan sebelumnya, yaitu 8/11 dan 2/3. Faktor persekutuan dari 11 dan 3 di antaranya adalah 33, 66, 99, dan 132. Kita ambil saja faktor persekutuan yang terkecil, atau disebut KPK, yaitu 33. Sehingga,

Karena 24 bagian dari 33 lebih besar daripada 22 bagian dari 33, maka

Setelah dapat membandingkan dua pecahan, sekarang kita akan berlatih untuk mengurutkan beberapa pecahan. Misalkan diberikan pecahan-pecahan 1/3, 2/5, 4/15, 5/12, dan 5/6. Dapatkah kamu mengurutkan pecahan-pecahan tersebut dari yang terkecil ke terbesar?
Sebelum mengurutkan pecahan-pecahan tersebut, kita harus membandingkan pecahan-pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya. KPK dari 3, 5, 15, 12, dan 6 adalah 60. Sehingga,

Setelah menyamakan penyebut-penyebutnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya. Urutan pecahan-pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah,

Untuk mengurutkan pecahan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, apa yang perlu diperhatikan?

Apabila dua pecahan memiliki penyebut yang sama, pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar, nilainya lebih besar daripada pecahan yang pembilangnya lebih kecil.

Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan gambar berikut!

Selain dengan menyamakan penyebutnya, kita dapat mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya.
Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Pembilang
Sebelum kita mulai mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya, mari kita tinjau pecahan-pecahan yang pembilangnya sama berikut.

Dari ketiga contoh pecahan di atas, apa yang dapat kita peroleh?

Apabila dua pecahan memiliki pembilang yang sama, maka pecahan yang penyebutnya lebih besar, nilainya lebih kecil daripada pecahan yang penyebutnya lebih kecil.

Agar kamu mudah mengingat pernyataan di atas, kamu dapat memperhatikan gambar berikut.

Selanjutnya mari kita urutkan pecahan-pecahan 1/2, 3/5, 2/3, 4/7, dan 5/9 dari yang terbesar ke terkecil. KPK dari 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah 60. Sehingga,

Setelah menyamakan pembilang-pembilangnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya. Urutan pecahan-pecahan dari yang terbesar ke terkecil adalah,

Semoga bermanfaat, Ahmad Rasiyidin.

->BACA SELENGKAPNYA- - Mengurutkan Pecahan

Pencerminan

Bercermin merupakan kegiatan yang setiap hari kamu lakukan. Setiap kali kamu bercermin, apa yang dapat kamu nyatakan mengenai banyanganmu? Apakah bayangan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan kamu? Apakah setiap kali kamu mendekat ke cermin, bayanganmu juga ikut mendekat ke cermin? Bagaimana dengan posisi menghadap bayangan, apakah tangan kananmu menjadi tangan kiri dari bayangan? Berikut ini ilustrasi orang yang sedang bercermin.

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari sifat-sifat pencerminan bangun datar. Dari ilustrasi di atas, kita dapat memperoleh sifat-sifat pencerminan sebagai berikut:

1. Objek dan bayangannya selalu sama.
2. Jarak setiap titik pada objek dan cermin sama dengan jarak setiap titik pada bayangan dan cermin, s = s’.
3. Tinggi objek sama dengan tinggi bayangannya, h = h’.
4. Garis yang menghubungkan titik pada objek dengan titik pada bayangannya selalu tegak lurus dengan cermin.

Selanjutnya, perhatikan contoh pencerminan bangun datar berikut!

Sesuai dengan sifat pencerminan, kita dapat memperoleh hal-hal sebagai berikut:

1. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’, akibat dari pernyataan ini, luas segitiga ABC sama dengan luas segitiga A’B’C’.
2. CP = C’P, AQ = A’Q, dan BR = B’R. Atau dengan kata lain, jarak titik sudut segitiga ABC ke cermin sama dengan jarak titik sudut A’B’C’ ke cermin.
3. Tinggi segitiga ABC sama dengan tinggi segitiga A’B’C’.
4. Ruas garis AA’, BB’, dan CC’ semuanya tegak lurus dengan cermin, yaitu garis PR.

Melukis Bayangan Hasil Pencerminan Suatu Bangun Datar
Selanjutnya mari kita berlatih untuk melukis bayangan dari bangun datar tertentu. Tentunya, kita harus menggunakan sifat-sifat dari pencerminan untuk melukis bayangan tersebut.
Diberikan suatu belah ketupat PQRS seperti gambar di bawah. Tentukan bayangan dari belah ketupat tersebut apabila dicerminkan terhadap garis a!

Perhatikan bahwa grid horizontal yang ada tegak lurus dengan garis a. Bayangan titik P, yaitu P’, tentunya segaris dengan titik P. Jarak titik P ke garis a adalah 11 satuan ke kiri. Akibatnya jarak titik P’ dengan cermin adalah 11 satuan ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk titik-titik Q’, R’, dan S’ yang secara berturut-turut merupakan bayangan dari titik-titik Q, R, dan S. Titik Q’ akan segaris dengan titik Q dan berjarak 2 satuan ke kanan. Titik R’ akan segaris dengan titik R dan berjarak 4 satuan ke kanan. Sedangkan titik S’ akan segaris dengan S dan berjarak 13 satuan ke kanan.
Setelah ketemu posisi dari titik-titik P’, Q’, R’ dan S’, hubungkan keempat titik tersebut dengan ruas garis sehingga akan terbentuk belah ketupat P’Q’R’S’ yang merupakan bayangan dari belah ketupat PQRS. Berikut ini gambar dari belah ketupat PQRS dan bayangannya.

Selain dengan cara di atas, kita juga dapat melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat. Garis pencerminan akan menjadi sumbu simetri jika kita menggunakan cara tersebut.
Berikut ini ilustrasi untuk melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat.

Langkah pertama, kamu harus melukis objek yang akan ditentukan bayangannya dan garis pencerminannya pada kertas. Setelah itu, lipatlah kertas tersebut menurut garis pencerminannya. Jiplaklah objek pada sisi kertas yang lainnya. Terakhir, buka kembali kertas tersebut. Hasil jiplakan tersebut merupakan bayangan dari objek yang dimaksud.
Bagaimana? Apakah kamu sudah memahami penjelasan mengenai pencerminan bangun datar di atas? Apabila sudah paham, kamu dapat mengerjakan soal pemecahan masalah berikut.
Pemecahan Masalah
Mulan adalah seorang gadis kelas IV yang memiliki tinggi 120 cm. Ia biasanya bercermin dengan jarak 80 cm di depan cermin. Ia akan berencana pergi ke tukang cermin untuk memesan sebuah cermin. Ia akan memesan sebuah cermin dengan tinggi minimal, akan tetapi apabila dia bercermin, dia akan tetap melihat keseluruhan badannya, dari ujung kaki sampai ujung kepala. Bantulah Mulan untuk menghitung panjang cermin yang akan ia pesan tersebut! Bantulah juga di mana ia akan meletakkan cermin tersebut apabila cermin tersebut sudah jadi nantinya! (Anggap posisi mata Mulan berada 9 cm di bawah bagian teratas tubuhnya)

Apabila kamu ingin mengetahui pembahasan dari soal pemecahan masalah ini, silahkan lihat di halaman arsip soal. Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Pencerminan