5 Soal dan Pembahasan Permasalahan Fokus Suatu Hiperbola

Permasalahan yang melibatkan fokus suatu hiperbola banyak kita jumpai di berbagai bidang. Seperti permasalahan fokus pada elips, hanya beberapa informasi hiperbola yang nantinya akan diketahui. Untuk itu, kita harus memanipulasi persamaan hiperbola yang diberikan atau bahkan membangun persamaan hiperbola dari suatu informasi tertentu untuk menentukan selesaian yang diberikan.

Soal 1: Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet
Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x² – 400y² = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Pembahasan Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,

Sehingga, kita peroleh p = 20 (p² = 400) dan q = 46 (q² = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f², kita mendapatkan,

Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 10⁷ kilometer.
Soal 2: Lokasi dari Suatu Badai
Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.

Pembahasan Misalkan M₁ merupakan ahli meteorologi pertama dan M₂ merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M₂, maka lokasi M₁, 9 ∙ 340 = 3.060 m lebih jauh dari M₁ terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, |M₁S| – |M₂S| = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M₁ dan M₂ terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.

Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M₁ dan M₂ adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M₁ atau M₂ adalah f = 1/2 ∙ 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan

Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah

->BACA SELENGKAPNYA- - 5 Soal dan Pembahasan Permasalahan Fokus Suatu Hiperbola

Fokus dari Suatu Hiperbola

Seperti pada elips, fokus dari suatu hiperbola banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Sistem navigasi radio jarak jauh (yang biasa disebut LORAN, kependekan dari long distance radio navigation system), dapat digunakan untuk menentukan letak dari suatu kapal laut dan pesawat terbang karena menerapkan karakteristik dari hiperbola. Cermin hiperbolis juga digunakan pada beberapa teleskop, karena cermin tersebut memiliki sifat bahwa setiap berkas cahaya yang datang dari satu fokus akan dipantulkan ke fokus lainnya. Untuk memahami beberapa contoh penerapan sifat hiperbola di atas, kita akan mendefinisikan hiperbola secara analitis.

Definisi Hiperbola
Diberikan dua titik f₁ dan f₂ pada suatu bidang, hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga selisih jarak antara f₁ ke (x, y) dan f₂ ke (x, y) merupakan suatu konstanta positif. Apabila disimbolkan,

Dua titik f₁ dan f₂ disebut sebagai fokus-fokus hiperbola, dan titik-titik (x, y) berada pada grafik hiperbola.

Untuk lebih memahami definisi hiperbola di atas, perhatikan gambar hiperbola berikut.

Seperti halnya pada definisi analitis dari elips, dapat ditunjukkan bahwa nilai dari konstanta k adalah 2p (untuk hiperbola horizontal). Untuk menentukan persamaan hiperbola dalam bentuk p dan q, kita gunakan pendekatan yang serupa dengan elips, yaitu dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan f adalah jarak fokus ke titik pusat hiperbola. Selanjutnya kita manipulasi persamaan di atas.

Dari definisi hiperbola, kita mendapatkan 0 < p < f, sehingga f² > p² dan f² – p² > 0. Agar persamaan di atas menjadi lebih sederhana, kita dapat memisalkan q² = f² – p² kemudian kita substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan hiperbola di atas. Diperoleh,

Dari persamaan tersebut, dengan mudah kita dapat menentukan titik potong grafik persamaan hiperbola horizontal tersebut dengan sumbu-x adalah (±p, 0). Selain itu, kita juga dapat mengetahui bahwa grafik persamaan tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y. Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Fokus dari Suatu Hiperbola

Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Terdapat beberapa macam kurva dalam keluarga irisan kerucut, 3 di antaranya adalah lingkaran, elips, dan hiperbola. Pada contoh berikut, kita akan mengidentifikasi jenis kurva apa yang dibentuk oleh persamaan-persamaan yang diberikan, tanpa melukis grafik persamaannya. Seperti yang akan kita ketahui, jenis-jenis persamaan yang bersesuaian akan memiliki karakteristik tertentu yang dapat membantu kita untuk membedakan antara persamaan satu dengan persamaan lainnya.

Contoh: Mengidentifikasi Irisan Kerucut dari Persamaannya
Identifikasi masing-masing persamaan berikut apakah merupakan persamaan lingkaran, elips, ataukah hiperbola. Berikan alasanmu dan tentukan titik pusatnya, tetapi jangan menggambar grafik-grafiknya.

1. y² = 36 + 9x²
2. 4x² = 16 – 4y²
3. x² = 225 – 25y²
4. 25x² = 100 + 4y²
5. 3(x – 2)² + 4(y + 3)² = 12
6. 4(x + 5)² = 36 + 9(y – 4)²

Pembahasan

1. Dengan menulis persamaannya menjadi y² – 9x² = 36, kita memperoleh a = 0 dan b = 0. Karena persamaan tersebut memuat selisih suku-suku berderajat dua, maka persamaan tersebut merupakan persamaan hiperbola (vertikal). Titik pusat dari hiperbola tersebut adalah (0, 0).
2. Kita tulis kembali persamaan tersebut menjadi 4x² + 4y² = 16, kemudian membagi kedua ruas dengan 4, maka kita akan memperoleh persamaan x² + y² = 4. Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran berjari-jari 2 dan memiliki titik pusat di (0, 0).
3. Persamaan x² = 225 – 25y² dapat ditulis menjadi x² + 25y² = 225. Persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (0, 0).
4. Dengan menulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 25x² – 4y² = 100, kita dapat melihat persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan dari hiperbola (horizontal) dengan titik pusat di (0, 0).
5. Persamaan yang diberikan memiliki bentuk pemfaktoran dan memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua dengan koefisien yang berbeda. Persamaan ini merupakan persamaan suatu elips dengan titik pusat di (2, –3).
6. Setelah kita tulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 4(x + 5)² – 9(y – 4)² = 36, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan suatu hiperbola horizontal dengan titik pusat di (–5, 4).

Dari 5 soal latihan di atas, kita sudah dapat membedakan antara persamaan-persamaan lingkaran, elips, dan hiperbola. Persamaan-persamaan lingkaran dan elips memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Akan tetapi, suku-suku berderajat dua pada persamaan lingkaran memiliki koefisien yang sama. Sebaliknya, suku-suku berderajat dua pada persamaan elips memiliki koefisien yang berbeda. Pada hiperbola, persamaannya memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Semoga bermanfaat, yos3prens.

->BACA SELENGKAPNYA- - Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Persamaan Hiperbola

Seperti kita ketahui, hiperbola merupakan salah satu keluarga irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, nantinya kita akan menginvestigasi bahwa cabang-cabang tersebut dan parabola merupakan kurva yang sangat berbeda.

Perhatikan bahwa persamaan Ax² + By² = F merupakan persamaan suatu lingkaran apabila A = B dan juga merupakan persamaan suatu elips jika A ≠ B. Dua kasus tersebut memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Selanjutnya mungkin kita akan bertanya-tanya, bagaimana jika persamaannya berupa pengurangan suku-suku berderajat dua. Perhatikan persamaan 9x² – 16y² = 144. Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa titik pusatnya adalah titik asal (0, 0) karena tidak ada pergeseran pada variabel x dan y (a dan b keduanya adalah 0). Dengan menggunakan metode perpotongan kurva, kita dapat menggambar grafik tersebut dan menghasilkan suatu grafik hiperbola.
Contoh 1: Menggambar Grafik Hiperbola Pusat
Gambarlah grafik persamaan 9x² – 16y² = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.
Pembahasan Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y² tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.
Pada contoh 1, koefisien dari x² merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y²: 9x² – 16y² = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y² positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x², hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

->BACA SELENGKAPNYA- - Persamaan Hiperbola

5 Soal dan Pembahasan Penerapan Elips

Penerapan elips dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai di berbagai macam sektor. Pada banyak kasus, hanya beberapa informasi dalam elips yang diketahui sehingga kita harus menentukan informasi-informasi yang hilang untuk dapat menyelesaikan permasalahan elips yang diberikan. Pada kasus lainnya, kita harus menulis kembali persamaan elips yang diberikan untuk menentukan informasi yang berhubungan dengan p, q, dan f.

Contoh 1: Permasalahan Karakteristik Elips
Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.
Contoh 2: Prosedur Medis
Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut.

Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?
Pembahasan Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q² = 16² = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p² = 10² = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,

Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter.

->BACA SELENGKAPNYA- - 5 Soal dan Pembahasan Penerapan Elips

Peluang: Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.

Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?

Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)!

Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

1. mereka berpindah-pindah tempat;
2. ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan Contoh Soal

1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
2. Perhatikan gambar berikut.
   
   Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Permutasi Siklis

Peluang: Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A, B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA, AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata sebagai berikut: A₁BA₂, A₂BA₁, A₁A₂B, A₂A₁B, BA₁A₂, dan BA₂A₁.

Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A₁A₂ yang seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut.

1. Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
   
2. Banyaknya permutasi yang terdiri dari n objek yang dipilih dari n objek di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m₁ objek yang sama, ada m₂ objek yang sama, serta m₃ objek yang sama, dan seterusnya adalah
   

Untuk lebih memahami mengenai permutasi dengan beberapa objek yang sama, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari huruf-huruf:

1. AKSARA,
2. CACAH, dan
3. MATEMATIKA, dengan syarat huruf pertama dan terakhirnya secara berturut-turut M dan K.

Pembahasan Contoh Soal

1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu jenis huruf yang sama, yaitu A, yang berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120 cara.
2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5 huruf dengan dua jenis huruf yang sama, yaitu C dan A, yang masing-masing berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!) = 30 cara.
3. Perhatikan gambar berikut.
   
   Setelah huruf-huruf M dan K digunakan di awal dan akhir susunan kata, maka huruf yang tersisa adalah ATEMATIA. Sisa huruf ini terdiri dari 8 huruf dengan 2 jenis huruf yang sama, yaitu A dan T, yang banyaknya secara berturut-turut adalah 3 dan 2. Sehingga banyaknya permutasi yang mungkin adalah 8!/(3! × 2!) = 3.360 cara.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Peluang: Permutasi

Misalkan diberikan suatu himpunan {a, b, c}. Dari anggota-anggota himpunan-himpunan tersebut dapat disusun kata sebagai berikut: abc, acb, bac, bca, cab, dan cba. Susunan ketiga anggota himpunan itu disebut permutasi dari a, b, dan c. (Perhatikan bahwa masing-masing susunan mempunyai urutan yang berbeda dari a, b, dan c).

Dari himpunan tersebut dapat juga dibentuk susunan-susunan yang masing-masing terdiri dari dua unsur yang berbeda dengan urutan: ab, ba, ac, ca, bc, dan cb. Susunan kedua anggota himpunan itu masing-masing disebut permutasi dari a, b, dan c.
Secara umum dapat dikatakan bahwa,

Permutasi dari sekumpulan objek adalah susunan yang berbeda dari objek-objek itu dengan memperhatikan urutannya.

Permutasi pada contoh pertama disebut permutasi tiga-tiga dari 3 objek dilambangkan dengan 3P3, sedangkan permutasi pada contoh kedua disebut permutasi dua-dua dari 3 objek dilambangkan dengan 3P2. Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek, dinotasikan dengan nPr, dapat dirumuskan sebagai berikut.

Untuk membuktikan rumus tersebut, perhatikan uraian berikut ini.
Permutasi dapat diartikan dengan susunan berbeda (tanpa pengulangan) yang dapat dibentuk dari n objek yang disediakan, untuk mengisi r kotak. Untuk tempat pertama dalam permutasi itu dapat diambil setiap objek dari n objek yang ada, jadi ada n cara. Tempat kedua dapat ditempati setiap objek kecuali satu unsur yang telah dipakai untuk tempat pertama, jadi ada (n – 1) cara. Untuk tempat ketiga terdapat (n – 2) cara, tempat keempat ada (n – 3) cara, dan seterusnya. Sehingga untuk tempat ke-r terdapat (n – r +1) cara. Menurut prinsip perkalian, akan terdapat n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) cara. Jadi, nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) atau

Untuk n = r diperoleh,

Untuk mengetaui bagaimana permutasi digunakan dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal
Terdapat 3 anak laki-laki dan 4 orang anak perempuan.

1. Dengan berapa cara mereka dapat duduk berdampingan?
2. Dengan berapa cara mereka dapat duduk berdampingan, jika anak laki-laki dan perempuan masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang anak laki-laki dan perempuan yang berdampingan?

Pembahasan Contoh Soal
Berikut ini pembahasan dari masing-masing soal di atas.

1. Banyaknya cara mereka agar dapat duduk berdampingan dapat dicari dengan menggunakan permutasi, yaitu 7P7 = 7! = 5.040. Mengapa kita menggunakan 7P7? Perhatikan bahwa bahwa terdapat 4 anak laki-laki dan 3 anak perempuan, sehingga totalnya ada (4 + 3), yaitu 7 anak yang akan disusun untuk duduk berdampingan. Tentunya terdapat 7 kursi untuk membuat mereka duduk saling berdampingan. Terdapat 7 objek akan disusun pada 7 tempat, hal ini sama dengan 7P7.
2. Untuk membantu dalam memahami soal poin (b), perhatikan gambar berikut.
   
   Seperti yang diilustrasikan pada gambar, agar 3 anak laki dapat selalu duduk mengelompok, kita dapat membendel 3 anak tersebut menjadi satu. Demikian juga dengan 4 anak perempuan. Sehingga kita akan menyusun 2 bendel pada 2 tempat yang disediakan, 2P2. Bendel pertama terdiri dari 3 anak laki-laki. Tiga anak laki-laki ini disusun pada 3 tempat, 3P3. Bendel kedua terdiri dari 4 anak perempuan. Empat anak perempuan ini disusun pada 4 tempat, 4P4. Sehingga, banyaknya cara menyususun 3 anak laki-laki dan 4 anak perempuan agar anak laki-laki dan perempuan saling mengelompok adalah
   
   Jadi, terdapat 288 cara penyusunan yang memenuhi syarat poin (b).

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Permutasi

Peluang: Faktorial Suatu Bilangan Asli

Misalkan akan dibentuk bilangan ribuan yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4, maka dengan menggunakan aturan perkalian akan diperoleh banyaknya bilangan 4 angka (tanpa pengulangan) adalah 4 × 3 × 2 × 1. Terlihat bahwa pada perkalian ini faktornya berkurang satu, dengan polanya 4 × (4 – 1) × (4 – 2) × (4 × 3) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Jenis perkalian bilangan asli yang menurun seperti di atas disebut faktorial. 4 × 3 × 2 × 1 disebut 4 faktorial, atau ditulis dengan 4! Jadi nilai dari 4! adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Secara umum penulisan faktorial untuk bilangan asli n dapat ditulis,

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
n! = n × (n – 1)!

Sehingga diperoleh,

n sama dengan n! dibagi (n – 1)!

Dalam faktorial  terdapat 2 definisi, yaitu bahwa 1! = 1 dan 0! = 1.
Untuk lebih memahami mengenai faktorial suatu bilangan asli, perhatikan contoh soal berikut ini.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Faktorial Suatu Bilangan Asli

Peluang: Faktorial Suatu Bilangan Asli

Misalkan akan dibentuk bilangan ribuan yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4, maka dengan menggunakan aturan perkalian akan diperoleh banyaknya bilangan 4 angka (tanpa pengulangan) adalah 4 × 3 × 2 × 1. Terlihat bahwa pada perkalian ini faktornya berkurang satu, dengan polanya 4 × (4 – 1) × (4 – 2) × (4 × 3) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Jenis perkalian bilangan asli yang menurun seperti di atas disebut faktorial. 4 × 3 × 2 × 1 disebut 4 faktorial, atau ditulis dengan 4! Jadi nilai dari 4! adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Secara umum penulisan faktorial untuk bilangan asli n dapat ditulis,

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
n! = n × (n – 1)!

Sehingga diperoleh,

n sama dengan n! dibagi (n – 1)!

Dalam faktorial  terdapat 2 definisi, yaitu bahwa 1! = 1 dan 0! = 1.
Untuk lebih memahami mengenai faktorial suatu bilangan asli, perhatikan contoh soal berikut ini.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Faktorial Suatu Bilangan Asli

Peluang: Aturan Perkalian dan Penjumlahan

Misalkan Andi akan berangkat sekolah bersama dengan teman sekelasnya, Amir. Rumah Andi terletak pada titik P dan rumah Amir terletak pada titik Q (lihat gambar). Sehingga, dalam perjalanan ke sekolah Andi akan menuju rumah Amir terlebih dahulu, kemudian bersama-sama dengan Amir ia akan berangkat ke sekolah. Ada berapa cara yang dapat ditempuh Andi untuk berangkat ke sekolah apabila ia harus melalui rumah Amir terlebih dahulu?

Banyaknya cara perjalanan dari titik P ke titik Q dilanjutkan ke titik R dapat digambarkan dengan diagram pohon seperti pada gambar berikut.

Dari diagram pohon tersebut terlihat rute perjalanan dari titik P ke titik R melalui titi Q ada 6 cara yang dapat ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurutan {(a, x), (a, y), (a, z), (b, x), (b, y), (b, z)}.
Dari uraian di atas, didapatkan bahwa jika ada 2 cara yang berbeda dari P ke Q dan ada 3 cara yang berbeda dari Q ke R maka akan diperoleh (2 × 3) cara yang berbeda dari P ke R. Kaidah ini merupakan aturan perkalian.

Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini.

Rute perjalanan dari P ke R dapat ditempuh melalui Q atau S. Dari P ke R melalui Q ada (2 × 3) cara yaitu 6 cara, sedangkan dari P ke R melalui S ada (1 × 2) cara, sehingga rute perjalanan dari P ke R ada (6 + 2) cara yang berbeda. Kaidah ini merupakan aturan penjumlahan.
Dari kedua contoh di atas dapat kita simpulkan tentang kaidah perkalian dan aturan penjumlahan sebagai berikut.

Jika suatu peristiwa terjadi dengan m cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan n cara yang berbeda maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan:

• (m × n) cara yang berbeda (prinsip perkalian);
• (m + n) cara yang berbeda (prinsip penjumlahan).

Untuk lebih memahami mengenai aturan perkalian dan aturan penjumlahan, perhatikan contoh soal berikut!
Contoh Soal
Untuk membentuk pengurus suatu organisasi, tersedia 2 orang calon ketua, 3 orang calon sekretaris, dan 2 orang calon bendahara dan tidak ada seorang pun yang dicalonkan pada dua atau lebih kedudukan yang berbeda. Dalam berapa cara susunan pengurus yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dapat dibentuk?
Pembahasan Contoh Soal
Untuk ketua ada 2 cara memilih, karena ada 2 calon. Demikian juga untuk sekretaris ada 3 cara dan untuk bendahara ada 2 cara, karena ada 2 calon. Oleh karena itu, menurut prinsip perkalian, susunan pengurus dapat dibentuk dengan (2 × 3 × 2) cara, yaitu 12 cara. Untuk mendapatkan gambaran yang jelas dari penyelesaian di atas, banyaknya susunan pengurus dapat ditunjukkan dengan diagram pohon sebagai berikut.

Jika dalam penyelesaian soal kita selalu membuat diagram pohon atau menuliskan dengan pasangan berurutan maka kita akan memerlukan waktu dan tempat yang banyak. Untuk itu kita harus memahami tentang prinsip perkalian sehingga dalam penyelesaian soal akan lebih cepat dan ringkas.
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Peluang: Aturan Perkalian dan Penjumlahan

Statistika: Menghitung Rata-rata dengan Menggunakan Metode Coding

Berikut ini adalah presentasi yang membahas mengenai cara menghitung rata-rata data berkelas yang disajikan dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi. Cara yang digunakan untuk menghitung rata-rata tersebut adalah metode Coding. Mengapa metode Coding, bagaimana metode Coding? Simak penjelasannya pada presentasi berikut.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Statistika: Menghitung Rata-rata dengan Menggunakan Metode Coding

Metode-metode Faktorisasi Suku Banyak

Dalam melakukan faktorisasi suku banyak (polynomial), terdapat 3 langkah yang biasanya ditempuh:

1. Perhatikan apakah masing-masing suku memiliki Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) yang tidak satu.
2. Perhatikan apakah polynomial tersebut dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
3. Perhatikan apakah polynomial tersebut masuk ke dalam kasus khusus.

Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor Persekutuan (Common Factor, Common Divisor) adalah bentuk aljabar (bisa berupa konstanta, variabel, atau perkalian keduanya) yang dapat membagi suku-suku polynomial. Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Factor, Greatest Common Divisor) adalah faktor persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku polynomial. Cara yang paling mudah dalam mencari FPB adalah dengan memfaktorkan masing-masing suku terlebih dulu. Setelah itu, FPB dikeluarkan ke luar tanda kurung.
Contoh 1:

• 5x + 10 = 5 ∙ x + 5 ∙ 2 = 5(x + 2)
• 12x² – 9x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x – 3 ∙ 3 ∙ x = 3x(4x – 3)

Pemfaktoran dengan Cara Pengelompokan
Sebelum melakukan pemfaktoran dengan pengelompokan, harap untuk selalu memperhatikan apakah suku-suku dalam polynomial memiliki FPB yang tidak satu atau tidak.
Contoh 2:
6abx + 9ax – 2bx – 3x
= x(6ab + 9a – 2b – 3)
= x([6ab + 9a]  + [–2b – 3])
= x(3a[2b + 3] – [2b + 3])
= x(3a – 1)(2b + 3)
Dalam pemfaktoran dengan cara pengelompokan, biasanya digunakan untuk memfaktorkan polynomial yang bersuku 4. Pertama, dari keempat suku polynomial bagilah ke dalam dua kelompok. Masing-masing kelompok berilah tanda kurung. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa minimal satu grup dalam pengelompokan tersebut memiliki faktor persekutuan. Setelah itu, keluarkan faktor persekutuan keluar tanda kurung pada masing-masing kelompok. Bentuk aljabar yang ada di dalam kurung haruslah sama. Apabila tidak sama, maka ada kesalahan dalam membagi kelompok atau memang polynomial tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan. Jadi diperlukan sedikit kecermatan dalam membagi kelompok suku-suku polynomial.
Contoh 3A:
5xy + 2y – 20x – 8
= (5xy – 8) + (2y – 20x)
= (5xy – 8) + 2(y – 10x)
Kesalahan dalam pembagian kelompok.
Contoh 3B:
5xy + 2y – 20x – 8
= (5xy + 2y) + (–20x – 8)
= y(5x + 2) – 4(5x + 2)
= (y – 4)(5x + 2)
Contoh 4:
x + 2xy + 3y + 5
= (x + 2xy) + (3y + 5)
= x(1 + 2y) + (3y + 5)
Bentuk aljabar dalam kurung tidak sama, dan dengan pengelompokan lain juga akan menghasilkan bentuk aljabar dalam kurung yang tidak sama, soal tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
Pemfaktoran dengan cara pengelompokan juga dapat digunakan dalam memfaktorkan polynomial bentuk ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah bilangan real. Jika tidak terdapat suatu bilangan di depan salah satu suku x, maka bilangannya adalah 1.

Contoh 5:
2x² + x – 5
a = 2; b = 1; c = –5
Cara memfaktorkan trinomial, polinomial dengan 3 suku, adalah dengan mengubahnya dari 3 suku menjadi 4 suku. Langkah pertama adalah mencari 2 bilangan yang dijumlahkan menghasilkan b, dan jika dikalikan menghasilkan ac. Jika tidak dapat ditemukan kedua bilangan yang memenuhi, maka trinomial tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara pengelompokan. Setelah ditemukan 2 bilangan yang memenuhi, pecahlah b menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Setelah itu, permasalahannya dapat diselesaikan seperti contoh 2 – 4.
Contoh 6:
x² + 2x – 15. Cari dua bilangan yang dijumlahkan hasilnya 2, jika dikalikan hasilnya 1 ∙ 15 = 15. Dengan sedikit perhitungan, kedua bilangan tersebut adalah 5 dan –3. Setelah itu pecahlah b = 2 menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Sehingga 2x = 5x – 3x. Diperoleh,
x² + 2x – 15
= x² + 5x – 3x – 15
= x(x + 5) – 3(x + 5)
= (x – 3)(x + 5)
Contoh 7:
6x² – 5x – 4
= 6x² – 8x + 3x – 4
= 2x(3x – 4) + (3x – 4)
= (2x + 1)(3x – 4)
Pemfaktoran Kasus Khusus
Berikut ini adalah kasus khusus dalam pemfaktoran yang perlu diingat.

a2 – b2 = (a + b)(a – b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Contoh 8:
x² – 9 = (x + 3)(x – 3)
Contoh 9:
x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² – 2x + 4)
Contoh 10:
8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)
Substitusi
Cara substitusi digunakan untuk pemfaktoran trinomial bentuk ax^2m + bx^m + c, dengan a, b, c, dan m bilangan real. Yang perlu dilakukan adalah dengan memisalkan u = x², kemudian difaktorkan secara biasa. Setelah difaktorkan dalam u, substitusi u dengan x².
Contoh 11:
x⁴ – 4x² – 45; misal u = x²
= u² – 4u² – 45
= (u – 9)(u + 5)
= (x² – 9)(x² + 5)
= (x + 3)(x – 3)(x2 + 5)
Contoh 12:
(x – 2)² – 9; misal u = x – 2
= u² – 9
= (u + 3)(u – 3)
= (x – 2 + 3)(x – 2 – 3)
= (x + 1)(x – 5)
Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Metode-metode Faktorisasi Suku Banyak