Filosofi Kami

Ilmu Pengetahuan Milik Semua Orang

Inilah filosofi utama yang mendorong penulis untuk membuat blog pendidikan matematika ini. Dengan blog ini penulis bagikan pengetahuan, khususnya di bidang matematika, bagi guru, siswa, dan semua orang yang mengaksesnya.

Simple and Easy Access (Simpel dan Mudah dalam Mengakses)
Semua informasi yang ada dalam blog ini diusahakan agar selalu simpel. Artinya Anda dapat mengambil informasi dalam blog kami tanpa perlu mealui langkah-langkah yang berbelit-belit. Selain simpel yang kami utamakan adalah easy access. Misal, pada awalnya artikel-artikel blog ini kami tautkan pada slidesahre.net. Slideshare.net merupakan website gratis yang kami gunakan untuk meletakkan dokumen-dokumen yang nantinya dapat Anda download secara gratis. Akan tetapi website ini mewajibkan Anda memiliki akun slideshare jika Anda ingin download dokumen pada slideshare. Sehingga kami beralih ke dropbox sebagai media penyimpanan file-file kami. Dengan sekali klik Anda langsung dapat mendownload file yang kami sediakan (direct download).

Ad-Free Blog
Yos3prens.wordpress.com merupakan blog bebas iklan. Menurut kami iklan dapat mengurangi kenyamanan bahkan menggangu pengunjung. Sehingga kami bertekad untuk ‘saying no to corporate advertising.’ Lebih jelasnya kunjungi adfreeblog.org.

->BACA SELENGKAPNYA- - Filosofi Kami

Arsip soal berisi latihan-latihan soal beserta pembahasannya. Halaman ini dapat dikatakan sebagai lanjutan dari postingan kami yang membahas tentang materi tertentu. Pembahasan materi dan latihan soalnya sengaja kami pisah semata-mata agar pembaca blog ini merasa lebih nyaman dalam membaca sajian materi yang kami bahas. Pembaca tidak akan terganggu akan materi yang panjang dan padat.

Setiap judul dari arsip soal akan memiliki format: “Soal #<Nomor Soal>”. Setiap judul dari arsip soal ini dapat diakses dari setiap link yang kami berikan dari pembahasan materi, pada blog ini. Dan semoga penambahan halaman arsip soal di blog ini akan menambah kenyamanan pembaca, seperti tujuan di setiap postingan kami.

1. Soal #1 (Perbandingan)
2. Soal #2 (Volume bangun ruang)
3. Soal #3 (Garis dan sudut)
4. Soal #4 (Trigonometri)
5. Soal #5 (Aturan cosinus)
6. Soal #6 (Sifat-sifat trapesium)
7. Soal #7 (Sifat-sifat layang-layang)
8. Soal #8 (Jaring-jaring balok)
9. Soal #9 (Jaring-jaring limas)
10. Soal #10 (Tali busur lingkaran)
11. Soal #11 (Simetri Putar)
12. Soal #12 (Pencerminan)
13. Soal #13 (Pengurangan Pecahan)
14. Soal #14 (FPB)
15. Soal #15 (Gradien Garis)
16. Soal #16 (Deret)

Selamat berlatih

Arsip Soal

Arsip soal berisi latihan-latihan soal beserta pembahasannya. Halaman ini dapat dikatakan sebagai lanjutan dari postingan kami yang membahas tentang materi tertentu. Pembahasan materi dan latihan soalnya sengaja kami pisah semata-mata agar pembaca blog ini merasa lebih nyaman dalam membaca sajian materi yang kami bahas. Pembaca tidak akan terganggu akan materi yang panjang dan padat.

Setiap judul dari arsip soal akan memiliki format: “Soal #<Nomor Soal>”. Setiap judul dari arsip soal ini dapat diakses dari setiap link yang kami berikan dari pembahasan materi, pada blog ini. Dan semoga penambahan halaman arsip soal di blog ini akan menambah kenyamanan pembaca, seperti tujuan di setiap postingan kami.

1. Soal #1 (Perbandingan)
2. Soal #2 (Volume bangun ruang)
3. Soal #3 (Garis dan sudut)
4. Soal #4 (Trigonometri)
5. Soal #5 (Aturan cosinus)
6. Soal #6 (Sifat-sifat trapesium)
7. Soal #7 (Sifat-sifat layang-layang)
8. Soal #8 (Jaring-jaring balok)
9. Soal #9 (Jaring-jaring limas)
10. Soal #10 (Tali busur lingkaran)
11. Soal #11 (Simetri Putar)
12. Soal #12 (Pencerminan)
13. Soal #13 (Pengurangan Pecahan)
14. Soal #14 (FPB)
15. Soal #15 (Gradien Garis)
16. Soal #16 (Deret)

Selamat berlatih

->BACA SELENGKAPNYA- - Arsip Soal

10 Soal dan Pembahasan Permasalahan Proram Linear

Pada pembahasan ini akan diberikan 10 soal program linear beserta pembahasannya. Soal-soal tersebut mencakup latihan memodelkan soal cerita ke dalam kalimat matematika, menggambar daerah selesaian dan menentukan nilai optimum dengan menggunakan uji titik pojok dan garis selidik. Selain itu, ada soal yang membahas mengenai kasus kusus dalam permasalahan program linear, seperti titik pojok penyebab nilai optimum yang koordinatnya memuat bilangan bukan cacah, akan tetapi fungsi objektifnya mensyaratkan bilangan cacah. Berikut ini satu dari kesepuluh soal tersebut.

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp 1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp 2.000.000,00 per buah. Ia berencana tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp 42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp 500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp 600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah …
Pembahasan Tanpa membuat tabel, kita dapat memodelkan kendala-kendala dari permasalahan tersebut sebagai berikut.

x + y ≤ 25,
1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000,
x ≥ 0, y ≥ 0,
x dan y bilangan cacah.

Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 500.000x + 600.000y. Sehingga apabila digambarkan, daerah selesaiannya akan nampak seperti berikut.

Selanjutnya kita tentukan titik potong grafik persamaan 1.500.000x + 2.000.000y = 42.000.000 dan x + y = 25.

Sehingga,

Diperoleh,

Selanjutnya kita lakukan uji titik pojok ke dalam fungsi objektifnya.

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah Rp 13.400.000,00.
Untuk mendownload 10 soal beserta pembahasan selengkapnya, silahkan klik di sini. Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - 10 Soal dan Pembahasan Permasalahan Proram Linear

Aplikasi Integral: Menentukan Volume dengan Metode Kulit Tabung

Pada bagian ini akan dibahas mengenai metode alternatif dalam menentukan volume benda putar. Metode ini disebut metode kulit tabung (shell method) karena metode ini menggunakan volume dari kulit tabung. Perhatikan persegi panjang di bawah ini dengan t adalah panjang dari persegi panjang, l adalah lebar persegi panjang, dan p adalah jarak antara sumbu putaran dengan pusat dari persegi panjang.

Ketika persegi panjang tersebut diputar menurut sumbu putarannya maka akan dihasilkan kulit tabung dengan ketebalan l. Untuk menentukan volume kulit tabung tersebut, perhatikan dua tabung (tabung luar dan dalam) yang nampak pada gambar di atas. Jari-jari tabung yang lebih besar merupakan jari-jari luar dari kulit tabung, dan jari-jari dari tabung yang lebih kecil merupakan jari-jari dalam dari kulit tabung. Karena p adalah rata-rata dari jari-jari kulit tabung, dan diketahui bahwa jari-jari luarnya p + l/2 dan jari-jari dalamnya p – l/2.

Maka, volume dari kulit tabung adalah

Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan volume dari benda putar. Anggap bidang datar pada gambar di bawah diputar menurut sumbu putarnya sehingga dihasilkan suatu benda putar.

Apabila diperhatikan lebar dari persegi panjang tersebut adalah Δy, maka persegi panjang yang diputar terhadap garis yang sejajar dengan sumbu-x akan menghasilkan suatu kulit tabung yang volumenya

Volume dari benda putar di atas dapat didekati dengan menggunakan volume n kulit tabung yang tebalnya Δy, tinggi t(y_i) dan rata-rata jari-jarinya p(y_i).

Pendekatan ini akan semakin baik dan semakin baik jika ||Δ|| → 0 atau n → ∞. Sehingga, volume benda putar tersebut adalah

Jadi, dari perhitungan di atas telah ditemukan rumus alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar. Perhatikan kesimpulan berikut.

METODE KULIT TABUNG
Untuk menentukan volume benda putar dengan metode kulit tabung, gunakan salah satu dari rumus berikut, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawahnya.
Sumbu putarnya horizontal,

Sumbu putarnya vertikal,

Untuk lebih memahami dalam menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung, perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh I: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ 1) dengan sumbu putarannya adalah sumbu-y.
Pembahasan Karena sumbu putarannya vertikal, gunakan persegi panjang vertikal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

Ketebalan Δx mengindikasikan bahwa x merupakan variabel dalam proses integrasi yang akan dilakukan. Jarak antara pusat persegi panjang dengan sumbu putaran adalah p(x) = x, dan tingginya adalah

Karena rangenya antara 0 sampai 1, maka volume benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

Contoh II: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu-y (0 ≤ y ≤ 1) dengan sumbu-x sebagai sumbu putarnya.
Pembahasan Karena sumbu putarannya horizontal, gunakanlah persegi panjang horizontal, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jarak antara pusat persegi panjang dan sumbu putarannya adalah p(y) = y, dan panjang dari persegi panjangnya adalah

Karena range dari y dari 0 sampai 1, maka volume benda putarnya dapat ditentukan sebagai berikut.

Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Aplikasi Integral: Menentukan Volume dengan Metode Kulit Tabung

Teorema Binomial

Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)ⁿ, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.

Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a + b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan ilustrasi berikut.

Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)⁴. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan tanda panah.

Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor suku-suku ekspansi binomial, maka akan ada 2⁴ = 16 suku ekspansi (a + b)⁴.
Selanjutnya, suku-suku serupa, yaitu suku-suku yang memiliki faktor a dan b sama banyak dapat dikombinasikan karena perkalian bersifat komutatif. Tetapi kita perlu mengetahui banyaknya masing-masing suku yang serupa tersebut. Sebagai contoh kita akan menentukan banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b. Untuk menentukan banyaknya suku ini sama dengan menentukan banyaknya cara kita mengambil 1 bilangan 1 sampai 4 sebagai nomor urut dari faktor b. Salah satu contohnya kita mungkin mendapat bilangan 3 yang merepresentasikan aaba (3 merupakan nomor urut dari b, sedangkan sisanya menjadi nomor urut a). Contoh lain, kita mungkin mendapat bilangan 1 yang merepresentasikan baaa. Sehingga banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah kombinasi 1 dari 4 yaitu 4. Semua suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah aaab, aaba, abaa, dan baaa.
Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, keempat suku tersebut memiliki nilai yang sama dengan a³b. Karena suku-suku yang sama dengan a³b berjumlah 4, maka koefisien dari a³b adalah 4, yang diperoleh dari kombinasi 1 (pangkat dari salah satu faktor a³b, yaitu b) dari 4 (jumlah pangkat dari semua faktor a³b).
Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4) suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa. Sehingga koefisien dari suku a²b² adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien dari suku-suku ekspansi (a + b)⁴ lainnya.

Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat tidak negatif.

Teorema Binomial
Diberikan sembarang bilangan real a dan b, serta bilangan bulat tidak negatif n,

Perhatikan bahwa bentuk kedua dan pertama pada persamaan di atas adalah sama, karena kombinasi 0 dari n sama dengan satu, demikian juga dengan kombinasi n dari n. Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema binomial dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah
Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa

untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2ⁿ = (1 + 1)ⁿ. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh

Karena 1^{n – k} = 1 dan 1^k = 1. Akibatnya,

Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan tersebut. Semoga bermanfaat

->BACA SELENGKAPNYA- - Teorema Binomial