Jarak Titik dan Garis

Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus.
Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis
Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.

Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.
Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x₂,  terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y₂).

Setelah koordinat (x₂, y₂) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Agar lebih sederhana, kita tentukan x₂ – x₁ dan y₂ – y₁ terlebih dahulu, yaitu

dan,

Sehingga jarak antara titik (x₂, y₂) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut.

Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah

Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.

Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus
Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0.
Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.

Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang. Semoga bermanfaat.