Menemukan Luas Permukaan Bola

Bumi yang kita pijak merupakan benda yang sangat besar sehingga menjadi hal yang masuk akal apabila kita menghitung jumlah luas tanah-tanah yang kita pijaki, yang bisa berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dan bentuk bangun datar lainnya, untuk menghitung keseluruhan luas permukaan bumi tersebut. Akan tetapi, demi kepraktisan, kita harus menemukan suatu rumus yang dapat menentukan luas dari suatu bola untuk menentukan luas permukaan bumi. Dan sekarang, dengan bermodalkan pengetahuan kalian mengenai rumus volume bola, mari kita cari bagaimana rumus untuk menemukan luas permukaan bola.

Penampakan bumi jika dilihat dari bulan

Investigasi: Menemukan Rumus Luas Permukaan Bola
Pada investigasi ini kalian akan memvisualisasikan permukaan bola yang ditutupi suatu bentuk yang sangat kecil dan mendekati datar, atau kita sebut saja “hampir poligon”. Sehingga luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas “hampir poligon” tersebut. Apabila kalian membayangkan jari-jari bola yang menghubungkan titik-titik sudut “hampir poligon” tersebut, maka kalian akan menemukan bangun ruang yang menyerupai limas, atau kita sebut saja “hampir limas”. Apabila diperhatikan, “hampir poligon” merupakan sisi alas dari “hampir limas”, dan jari-jari dari bola merupakan tinggi dari “hampir limas” tersebut. Sehingga, volume dari bola (V) merupakan penjumlahan dari volume “hampir limas” yang terbentuk akibat “hampir poligon” dan jari-jari lingkaran. Dan selanjutnya, kita lakukan beberapa manipulasi aljabar.

Bola sepak yang pada permukaannya terdapat “hampir segilima”

Langkah 1. Bagi permukaan bola menjadi 1000 “hampir poligon” yang masing-masing luasnya L₁, L₂, …, L₁₀₀₀. Sehingga, luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir poligon”.

L = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀

Langkah 2. Volume limas dengan alas L₁ adalah 1/3(L₁)r, sehingga total dari volume bola, V, merupakan penjumlahan dari volume 1000 limas.

V = 1/3(L₁)r + 1/3(L₂)r + … + 1/3(L₁₀₀₀)r

Langkah 3. Padahal seperti kita ketahui bahwa volume bola adalah V = 4/3(πr³). Substitusikan rumus ini ke persamaan pada langkah 2, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

4/3(πr³) = 1/3(L₁)r + 1/3(L₂)r + … + 1/3(L₁₀₀₀)r

Dengan mengalikan 3/r pada masing-masing ruas akan diperoleh persamaan berikut ini.

4πr² = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀

Karena luas permukaan bola, L, merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir limas”, maka L = L₁ + L₂ + … + L₁₀₀₀. Sehingga,

L = 4πr²

Kesimpulan
Rumus luas permukaan bola, L, yang berjari-jari r adalah 4πr2.
Agar lebih memahami mengenai bagaimana penerapan rumus luas permukaan bola dalama pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Semoga bermanfaat.