Menemukan Rumus Volume Bola

Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai bagaimana cara menemukan rumus volume suatu bola. Dalam pembahasan kali ini akan digunakan suatu konsep yang dinamakan Prinsip Cavalieri. Prinsip Cavalieri menyatakan bahwa,

Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, maka kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.

Dengan menggunakan prinsip ini, akan didemonstrasikan bahwa kedua bangun ruang di bawah ini memiliki volume yang sama.

Setengah bola memiliki jari-jari r. Bangun ruang di sebelah kanan adalah suatu tabung yang memiliki tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r. Akan didemonstrasikan bahwa jika kedua bangun ruang di atas diiris pada ketinggian yang sama, bidang irisannya akan memiliki luas yang sama. Kemudian akan digunakan Prinsip Cavalieri untuk menunjukkan bahwa kedua bangun ruang di atas memiliki volume yang sama. Pada pembahasan kali ini, pembaca dianggap telah mengetahui rumus untuk menghitung volume tabung dan kerucut. Dengan demikian, volume “tabung dikurangi kerucut” di atas dapat dihitung. Setengah bola di atas seharusnya memiliki volume yang sama dengan “tabung dikurangi kerucut”. Bingung? Mari kita bahas secara lebih dalam.
Gambar sebelah kiri pada gambar di bawah ini merupakan suatu setengah bola yang memiliki jari-jari 15 cm. Kemudian setengah bola tersebut diiris dengan ketinggian 9 cm dari bawah dan menghasilkan bidang irisan yang berbentuk lingkaran. Di sebelah kanan setengah bola adalah suatu tabung yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm yang dipotong oleh kerucut yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm. Bangun ruang ini juga diiris dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk menyerupai cincin.

Untuk menghitung nilai x pada gambar di atas, digunakan Teorema Pythagoras:

x2 + 92 x2 x2 x2 x

= 152 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 = 12

Sehingga luas dari bidang irisan lingkaran adalah,
L_lingkaran = πr² = π(12)² = 144π
Kemudian akan dihitung luas bidang irisan cincin pada gambar kanan di atas. Karena tinggi dan jari-jari kerucut adalah sama, maka segitiga siku-siku besar di atas adalah segitiga sama kaki. Demikian juga dengan segitiga siku-siku yang kecil. Sehingga diperoleh y = 9.
L_cincin = πR² – πr² = π(15²) – π(9²) = π(225 – 81) = 144π
Pada penghitungan di atas menunjukkan bahwa kedua bidang irisan di atas memiliki luas yang sama.
Latihan

1. Suatu setengah bola yang berjari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.
2. Suatu “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.

Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa dua bidang irisan dari dua bangun datar setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama jika diiris dengan ketinggian 9 cm dari alas. Pada latihan, juga ditunjukkan bahwa kedua bidang irisan pada soal nomor 1 dan 2 memiliki luas bidang irisan yang sama. Kemudian logis jika muncul suatu dugaan bahwa bidang irisan dari setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama apabila diiris dari ketinggian yang sama. Untuk mendemonstrasikan bahwa setengah lingkaran dengan jari-jari r dan “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari r, memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris dengan sebarang ketinggian h dari alas, akan ditemukan luas bidang irisan dari masing-masing bangun ruang tersebut dari ketinggian h.

Luas dari bidang irisan yang berbentuk lingkaran adalah πx2. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh x2 + h2 = r2. Sehingga x2 = (r2 – h2). Dengan sedikit perhitungan aljabar, diperoleh luas bidang irisan lingkaran adalah π(r2 – h2).

Luas dari bidang cincin adalah πr2 – πy2. Akan tetapi, karena x dan y adalah kaki-kaki dari segitiga sama kaki, maka y = x. Sehingga diperoleh luas cincin adalah π(r2) – π(h2). Dengan pemfaktoran diperoleh, π(r2 – h2)

Karena dipilih sebarang tinggi, dan kedua bidang irisan di atas memiliki luas π(r² – h²), maka kedua bangun ruang di atas (setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut”) memiliki volume yang sama, berdasarkan Prinsip Cavalieri.
Volume dari “tabung dikurangi kerucut” dapat dihitung dengan mengurangkan volume tabung dengan volume kerucut. Volume yang diperoleh sama dengan volume setengah lingkaran.

Vtabung

= A x t = (πr2)r = πr3

Vkerucut

= (1/3)A x t = (1/3)(πr2)r = (1/3)πr3

Sehingga, volume dari “tabung dikurangi kerucut” adalah πr³ – (1/3)πr³ atau (2/3)πr³. Dengan menggunakan Prinsip Cavalieri, setengah bola juga memiliki volume (2/3)πr³. Karena volume bola adalah dua kali volume setengah bola, maka dapat diperoleh volume bola. Nyatakan kesimpulanmu pada konjektur berikut ini.

Volume bola yang berjari-jari r adalah –?—. (Konjektur Volume Bola)

Semoga bermanfaat.