Peluang: Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A, B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA, AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata sebagai berikut: A₁BA₂, A₂BA₁, A₁A₂B, A₂A₁B, BA₁A₂, dan BA₂A₁.

Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A₁A₂ yang seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut.

1. Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
   
2. Banyaknya permutasi yang terdiri dari n objek yang dipilih dari n objek di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m₁ objek yang sama, ada m₂ objek yang sama, serta m₃ objek yang sama, dan seterusnya adalah
   

Untuk lebih memahami mengenai permutasi dengan beberapa objek yang sama, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari huruf-huruf:

1. AKSARA,
2. CACAH, dan
3. MATEMATIKA, dengan syarat huruf pertama dan terakhirnya secara berturut-turut M dan K.

Pembahasan Contoh Soal

1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu jenis huruf yang sama, yaitu A, yang berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120 cara.
2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5 huruf dengan dua jenis huruf yang sama, yaitu C dan A, yang masing-masing berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!) = 30 cara.
3. Perhatikan gambar berikut.
   
   Setelah huruf-huruf M dan K digunakan di awal dan akhir susunan kata, maka huruf yang tersisa adalah ATEMATIA. Sisa huruf ini terdiri dari 8 huruf dengan 2 jenis huruf yang sama, yaitu A dan T, yang banyaknya secara berturut-turut adalah 3 dan 2. Sehingga banyaknya permutasi yang mungkin adalah 8!/(3! × 2!) = 3.360 cara.

Semoga bermanfaat