Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Perhatikan persamaan kuadrat, (x – 5)² = 24. Jika kita menuliskan kuadrat dari binomial tersebut menjadi bentuk panjangnya, kita memperoleh x² – 10x + 25 = 24. Sehingga, apabila persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk standar maka akan menjadi x² – 10x + 1 = 0, yang sangat sulit dipecah ke dalam perkalian faktor-faktornya karena faktor-faktor persamaan tersebut merupakan bilangan irasional. Dengan membalik proses di atas, kita akan mendapatkan strategi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Strategi tersebut selanjutnya disebut cara melengkapkan kuadrat. Perhatikan ilustrasi berikut.

Pada umumnya, setelah memindah konstanta ke ruas yang lain (lihat baris kedua), bilangan yang dapat “melengkapi kuadrat” dapat ditentukan dengan mengkuadratkan setengah dari koefisien suku linear: [1/2 ∙ (10)]2 = 25. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, selesaikanlah x² + 13 = 6x.
Pembahasan Karena x² + 13 = 6x tidak dalam bentuk standar, maka kita harus menuliskannya ke dalam bentuk standar terlebih dahulu.

Proses melengkapkan kuadrat dapat dilakukan terhadap semua persamaan kuadrat dengan koefisien suku-x², a = 1. Jika koefisien dari suku-x² tidak 1, maka kita harus membagi persamaan tersebut dengan a. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat.
Melengkapkan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat
Untuk menyelesaikan ax² + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:

1. Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.
2. Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x², a.
3. Hitung [1/2 ∙ (b/a)]² dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.
4. Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.
5. Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Dengan melengkapkan kuadrat, selesaikan –3x² + 1 = 4x.
Pembahasan Bentuk standar dari –3x² + 1 = 4x adalah –3x² – 4x + 1 = 0. Sehingga,

Jadi, selesaian-selesaian dari persamaan –3x² + 1 = 4x  adalah x = –2/3 + √7/3 atau x = –2/3 – √7/3. Semoga bermanfaat