Persamaan Kuadrat dan Sifat Perkalian Nol

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah bilangan real, dan a ≠ 0. Bentuk tersebut disebut sebagai bentuk standar dari persamaan kuadrat. Bentuk standar tersebut memiliki suku-suku yang derajatnya turun secara terurut dan persamaannya sama dengan nol.

Persamaan Kuadrat
Suatu persamaan kuadrat dapat ditulis ke dalam bentuk ax² + bx + c, di mana a, b, c bilangan real, dan a ≠ 0.

Dalam persamaan kuadrat, a disebut sebagai koefisien utama, b disebut sebagai koefisien suku linear, dan c disebut sebagai konstanta. Semua persamaan kuadrat berderajat dua, tetapi dapat memiliki satu, dua, atau tiga suku. Persamaan p² – 36 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan dua suku, di mana a = 1, b = 0, dan c = –36.
Contoh 1: Menggolongkan Suatu Persamaan
Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Jika iya, tentukan koefisien-koefisien a, b, dan c.

1. 3x² – 15 = 0
2. z³ + 3z² + 3z + 1 = 0
3. 0,3x² = 0

Pembahasan Persamaan pada soal nomor 1 merupakan persamaan kuadrat dengan a = 3, b = 0, dan c = –15. Akan tetapi persamaan pada nomor 2 berderajat 3, artinya variabel pada persamaan tersebut pangkat tertingginya 3. Sehingga persamaan pada soal nomor 2 bukan persamaan kuadrat. Seperti dengan soal nomor 1, persamaan pada nomor 3 merupakan persamaan kuadrat, dengan a = 0,3, b = 0, dan c = 0.
Pada persamaan kuadrat dan persamaan polinomial lainnya, pada umumnya kita tidak dapat memisahkan variabel ke dalam satu ruas saja, karena variabel-variabelnya memiliki pangkat yang berbeda. Sehingga kita harus menyelesaikannya dengan menggunakan pemfaktoran dan menerapkan sifat perkalian nol.

Sifat Perkalian Nol
Jika A dan B adalah bilangan real atau bentuk aljabar untuk bilangan real, dan A ∙ B = 0, maka A = 0 atau B = 0.

Dengan kata lain, jika hasil kali dari sembarang 2 faktor (atau lebih) sama dengan nol, maka paling sedikit ada satu faktor yang sama dengan nol. Kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelesaikan persamaan dengan derajat yang lebih besar setelah menuliskannya ke dalam perkalian dari persamaan dengan derajat lebih kecil. Seperti pada persamaan linear, nilai yang dapat menyebabkan suatu persamaan menjadi benar disebut sebagai selesaian atau akar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat Perkalian Nol
Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan menuliskannya ke dalam perkalian faktor-fakornya kemudian gunakan sifat perkalian nol.

1. 3x² = 8x
2. 5x + 2x² = 3
3. 9x² = 30x – 25

Pembahasan

1. Kita tulis persamaan 3x² = 8x ke dalam bentuk standar, kemudian kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut.
   
   Sehingga, x = 0 atau 3x – 8 = 0. Karena 3x – 8 = 0 maka kita dapat memperoleh x = 8/3. Jadi, selesaian-selesaian dari 3x² = 8x adalah x = 0 atau x = 8/3.
2. Persamaan 5x + 2x² = 3 dapat ditulis ke dalam bentuk 2x² + 5x – 3 = 0. Selanjutnya kita selesaikan persamaan kuadrat tersebut.
   
   Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 1/2 atau x = –3.
3. Persamaan 9x² = 30x – 25 dapat ditulis menjadi 9x² – 30x + 25 = 0. Sehingga kita memperoleh,
   
   Sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu selesaian, yaitu x = 5/3, yang juga disebut sebagai akar berulang.

Dan akhirnya, pada pembahasan ini kita telah membahas mengenai pengertian persamaan kuadrat dan sifat perkalian nol. Selain itu kita juga telah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan menggunakan sifat perkalian nol untuk menentukan akar/selesaian dari persamaan tersebut.
Semoga bermanfaat