Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang Bergantung dan Tidak Konsisten

Terdapat beberapa jenis selesaian dari SPLTV, yaitu selesaian yang tunggal, tak terhingga, dan tidak ada selesaian. SPLTV yang tidak memiliki selesaian akan mengarah pada hasil yang tidak konsisten, diakhiri dengan pernyataan seperti 0 = –3 atau kontradiksi lainnya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan SPLTV yang Tidak Konsisten
Selesaikan SPLTV berikut dengan menggunakan cara eliminasi.

Pembahasan

1. Sistem ini tidak memiliki persamaan yang suku-x berkoefisien 1.
2. Kita masih bisa menggunakan P1 (persamaan 1) untuk memulai proses, tetapi kali ini kita akan menggunakan variabel y karena koefisiennya 1.
   Dengan menggunakan 2P1 + P2 untuk mengeliminasi y pada P2, menyisakan 7x – 2z = –4. Tetapi dengan menggunakan –2P1 + P3 untuk mengeliminasi suku-y dari P3 akan menghasilkan kontradiksi.
   
   Kita dapat menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten. Sehingga himpunan selesaiannya adalah himpunan kosong Ø, dan kita tidak perlu menyelesaikan sistem tersebut lebih jauh.

Tidak seperti sistem linear dua variabel, SPLTV memiliki 2 bentuk ketergantungan, yaitu bergantung linear dan bergantung kongruen. Untuk membantu dalam memahami sistem yang bergantung linear, perhatikan SPLTV yang memiliki 2 persamaan: –2x + 3y – z = 5 dan x – 3y + 2z = –1. Masing-masing persamaan tersebut merepresentasikan bidang, dan jika kedua bidang tersebut tidak sejajar, irisan dari bidang-bidang tersebut akan membentuk suatu garis. Selesaian dari sistem seperti ini dapat ditulis dengan menggunakan salah satu variabel untuk menuliskan dua variabel lainnya, atau dengan menggunakan 3 bilangan berurutan yang ditulis dengan parameter.
Suatu sistem dengan dua persamaan dan dua variabel atau tiga persamaan dan tiga variabel disebut dengan sistem persegi, yang berarti bahwa banyaknya persamaan dalam sistem sama dengan banyaknya variabel. Suatu sistem persamaan linear tidak dapat memiliki solusi yang tunggal jika banyaknya persamaan kurang dari banyaknya variabel.
Contoh 2: Menyelesaikan Sistem yang Bergantung
Selesaikan SPLTV berikut dengan menggunakan eliminasi.

Pembahasan Dengan menggunakan P1 + P2 akan mengeliminasi suku-y dari P2, menghasilkan –x + z = 4. Ini berarti bahwa (x, y, z) akan memenuhi kedua persamaan jika x = z – 4 (koordinat-x harus 4 kurangnya dari koordinat-z). Karena x dinyatakan dalam variabel z, selanjutnya substitusikan x = z – 4 ke salah satu persamaan untuk menyatakan y ke dalam variabel z. Dengan menggunakan P2 kita memperoleh: (z – 4) – 3y + 2z = –1, yang menghasilkan y = z – 1 (koordinat-y harus 1 kurangnya dari koordinat-z). Jika dinyatakan dalam himpunan, maka himpunan selesaiannya adalah {(x, y, z) | x = z – 4, y = z – 1, z bilangan real}. Untuk z = –1, 0, dan 5, solusinya secara berturut akan menjadi (–5, –2, –1), (–4, –1, 0), dan (1, 4, 5). Dengan menggunakan p sebagai parameter, solusinya juga dapat ditulis menjadi (p – 4, p – 1, p) yang merupakan bentuk parametrik.
Sistem pada contoh 2 di atas merupakan sistem yang tidak persegi, sehingga secara langsung kita dapat mengetahui bahwa sistem tersebut merupakan sistem yang bergantung. Sistem pada contoh 3 berikut merupakan sistem yang persegi, tetapi hanya dengan melalui proses eliminasi kita dapat menentukan sifat dari selesaiannya.
Contoh 3: Menyelesaikan Sistem yang Bergantung
Selesaikan SPLTV berikut dengan eliminasi.

Pembahasan Sistem tersebut tidak memiliki persamaan yang koefisien variabel x-nya sama dengan 1. Kita masih bisa menggunakan P1, tetapi dengan mengeliminasi suku-z dari P2 (tidak ada suku-z di P3). Dengan P1 + P2 akan mengeliminasi suku-z dari P2 dan menghasilkan 5x – y = 4.

Selanjutnya kita akan menyelesaikan subsistem dari SPLTV yang baru tersebut. Dengan menggunakan –2P2 + P3 akan mengeliminasi suku-y di P3, tetapi juga mengeliminasi suku lainnya.

Karena P3 sama dengan 2 ∙ P2, maka sistem tersebut bergantung secara linear dan ekuivalen dengan sistem,

Dari P2 kita dapat menyelesaikan y ke dalam variabel x: y = 5x – 4. Dengan mensubstitusikan 5x – 4 ke dalam y pada P1 akan menghasilkan nilai z ke dalam variabel x.

Sehingga, himpunan selesaiannya adalah {(x, y, z) | y = 5x – 4, z = 7x – 9, x bilangan real}. Dengan menggunakan parameter p, solusinya juga dapat dituliskan menjadi (p, 5p – 4, 7p – 9) ke dalam bentuk parametrik.
Selesaian-selesaian dari sistem yang bergantung linear dapat dituliskan ke dalam x, y, atau z, tergantung dari variabel yang dieliminasi pada langkah pertama dan variabel yang kita pilih pada langkah selanjutnya.
Untuk sistem yang bergantung kongruen, persamaan-persamaan pada sistem tersebut hanya berbeda pada pengalinya. Setelah menerapkan proses eliminasi, semua variabel akan tereliminasi dan menghasilkan pernyataan yang selalu benar (seperti 3 = 3, atau yang lainnya). Semoga bermanfaat